Фрактальная геометрия природы

Аналитическая масштабная инвариантность. Изучение перколяции уже довольно давно вылилось в поиски аналитических выражений, которые связали бы между собой стандартные физические величины. Выяснилось, что все эти величины обладают свойством масштабной инвариантности в том смысле, что отношения между ними задаются степенными законами. При p≠p_крит масштабная инвариантность сохраняется вплоть до внешнего порога, величина которого зависит от p−p_крит и обозначается через ξ. По мере того, как p→p_крит, порог ξ→∞. Физики постулируют (см. [536], с. 21), что величина следует правилу, полученному нами на с. 180.

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КЛАСТЕРОВ

Форма кластеров. Допустим, что p=p_крит, а длина каждого отдельного стержня уменьшается, в то время как общий размер решетки остается постоянным. Кластеры при этом становятся все более тонкими («кожа да кости»), все более извилистыми и разветвленными. В частности [293], количество стержней, расположенных вне кластера, но по соседству с каким-либо стержнем, принадлежащим кластеру, приблизительно пропорционально количеству стержней внутри кластера.

Гипотеза о фрактальных кластерах. Вполне естественно предположить, что масштабная инвариантность — свойство не только аналитическое, но распространяется и на геометрию кластеров. Однако эту идею нельзя осмыслить средствами стандартной геометрии, поскольку кластеры отнюдь не являются прямыми линиями. Фрактальная же геометрия, можно сказать, просто создана для устранения таких трудностей: как следствие, я высказал предположение, что кластеры можно представить в виде фрактальных σ-кривых, удовлетворяющих равенствам D=2 и 1_c. Это предположение было принято и оказалось весьма плодотворным. Подробнее мы рассмотрим его в главе 36.

< Строго говоря, масштабно-инвариантные фракталы были призваны представлять только те кластеры, которые не усечены границей исходной решетки. Это исключает из рассмотрения сам перколяционный кластер. (Термин кластер обладает чудесным даром создавать путаницу, вы не находите?) Для объяснения возникающего осложнения представим себе чрезвычайно большую решетку, выберем на ней какой-нибудь кластер и квадрат меньшего размера, наложенный на этот кластер. По определению, пресечение кластера и квадрата включает в себя меньший перколяционный кластер, однако оно же включает в себя и «остаток», который соединяется с меньшим перколяционным кластером посредством связей, находящихся вне квадрата. Заметим, что пренебрежение этим остатком смещает вниз оценку D_c. ►

Неслучайные фрактальные модели — очень приближенные, но конкретные. Для того, чтобы утверждение о фрактальной природе какого-либо естественного феномена было обоснованным, его следует сопроводить описанием конкретного фрактального множества, которое могло бы послужить моделью этого явления в первом приближении или хотя бы дать нам возможность представить его перед мысленным взором. Моя модель береговых линий, основанная на кривых Коха, или модель галактических скоплений Фурнье показывают, что такое приближенное неслучайное представление может оказаться весьма полезным. Я полагаю также, что рекурсивно построенные контактные кластеры (подобные тем, что рассматриваются в этой главе) могут снабдить нас полезными фрактальными моделями слабо изученного естественного феномена, который обычно моделируется кластерами Бернулли.