Фрактальная геометрия природы

Неуловимый континент. На вышеприведенном рисунке можно видеть, что длина стороны инициатора вносит не присущий генератору внешний порог. Более последовательным решением будет экстраполировать эту длину, как мы поступили в случае островов без озер. Однако и в этом случае мы можем быть почти уверены, что мы получим не континент, а лишь бесконечно вложенные друг в друга острова и озера.

Соотношение между площадью и количеством. При определении площади острова (или озера) можно исходить либо из общей площади фигуры, либо из площади суши (или воды) в пределах береговой линии. Эти две величины связаны между собой постоянным коэффициентом, т. е. влияют на количество Nr(A>a) через его префактор F', а не через показатель D/2.

Комбинация интервалов и деревьев. Допустим теперь, что оставшиеся N−N_c звеньев образуют либо ломаную с двумя свободными концами, либо дерево. В обоих случаях фрактал разделяется на бесконечное множество не связанных между собой элементов, каждый из которых представляет собой кривую. Такую сг-кривую уже нельзя считать σ-петлей; уместнее, пожалуй, будет назвать ее σ-деревом или σ-интервалом.

ПОНЯТИЕ КОНТАКТНОГО КЛАСТЕРА

Генератор может также сочетать в себе петли, ветви и разные другие топологические конфигурации. Связные части предельных фракталов, получаемых при таком построении, напоминают кластеры из теории перколяции (как будет показано позже в этой главе) и из многих других областей физики. Для нас использование термина «кластер» чрезвычайно неудобно, так как совсем недавно (при рассмотрении пылевидных множеств в главе 9) мы вкладывали в него несколько иной смысл. Стало быть, необходим более точный и — как следствие — более громоздкий термин. Я решил остановиться на словосочетании «контактный кластер». Хорошо еще, что в термине «сг-кластер» нет такой двусмысленности.

(Можно заметить, что контактный кластер имеет однозначное и естественное математическое определение, тогда как понятие кластеризации в пыли размыто и интуитивно и определяется, в лучшем случае, через весьма спорные статистические законы.)

Контактные кластеры, заполняющие плоскость. В случае, когда размерность D достигает своего максимума D=2, остаются в силе рассуждения из предыдущего раздела, однако возникает необходимость в кое-каких добавочных замечаниях. Каждый отдельный кластер стремится к некоторому пределу, который может представлять собой прямую или — как бывает чаще всего — фрактальную кривую. С другой стороны, все кластеры в совокупности образуют σ-кривую, ответвления которой заполняют плоскость в высшей степени плотно. В пределе эта σ-кривая ведет себя подобно кривым из главы 7: она перестает быть кривой и становиться областью плоскости.

Неуловимый бесконечный кластер. Данный подход ни в коем случае не подразумевает возможности образования действительно бесконечного кластера. Можно легко построить топологию генератора таким образом, чтобы любая данная ограниченная область была почти наверняка окружена контактным кластером. Этот кластер, в свою очередь, почти наверняка окажется окружен большим кластером и т. д. Размер кластера сверху ничем не ограничен. В более общем виде: если кластер представляется бесконечным только потому, что он окружает очень большую область, то стоит лишь вспомнить о том, что сам он окружен кластером еще большего размера, и конечный размер любого кластера перестанет вызывать сомнения.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАССОЙ И КОЛИЧЕСТВОМ. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВЗВЕШЕННЫМ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ. ПОКАЗАТЕЛИ D-D C И D/D C

Переформулируем функцию Nr(Λ>λ) двумя способами: первый состоит в замене диаметра кластера λ его массой μ, второй — в назначении единице размера контактного кластера некоторого веса.

Массой кластера здесь называется просто количество звеньев длины b^−k в самом кластере (только не считайте звенья внутри петельных кластеров). В сущности (см. главы 6 и 12), мы строим несколько модифицированную сосиску Минковского (рис. 57), размещая в каждой вершине квадрат со стороной b^−k и добавляя по половине квадрата к каждой концевой точке.

Масса кластера диаметра Λ равна площади его модифицированной сосиски, M∝(Λ/b^k)^Dc(b^k)²=Λ^Dc/(b^k)^Dc−2. Поскольку D_c<2, масса M стремится к нулю при k→∞. Масса всех контактных кластеров в совокупности пропорциональна (b^k)^D−2; при D<2 она также стремится к нулю. Что касается относительной массы каждого отдельного кластера, то она пропорциональна (b^k)^Dc−D; скорость ее стремления к нулю возрастает при увеличении значения разности D−D_c.

Соотношение между массой и количеством. Очевидно, что

Nr(M>μ)∝(b^k)^−D+2D/Dcμ^−D/Dc,