Читаем Фрактальная геометрия природы полностью

ОБОБЩЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО ЗАКОНА КОРЧАКА

Составим список всех островов некого региона в порядке уменьшения их размера. Общее количество островов, размер которых превышает a, будем записывать как Nr(A>a), < обозначение построено по подобию обозначения Pr(A>a), позаимствованного из теории вероятности. ► В данном случае a — это возможное значение картографической площади острова, а букву A будем использовать для обозначения площади неопределенной величины.

Обозначив через B и F' положительные константы (показатель и префактор, соответственно), получим следующее, весьма замечательное, соотношение между площадью и количеством:

Nr(A>a)=F'a−B.

Если мы захотим приписать кому-либо честь открытия этого правила, то лучше всех, пожалуй, подходит кандидатура И. Корчака [279] (хотя, по его утверждению, B=1/2, что я считаю невероятным и не обоснованным представленными в статье данными). Более того, значение B различно для различных регионов и всегда больше 1/2. Позвольте мне теперь показать, что вышеприведенный обобщенный закон является аналогом распределения, полученного нами в главе 8 для длин пустот в канторовой пыли.

КОНТИНЕНТ И ОСТРОВА КОХА. ИХ РАЗЛИЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Для построения коховского аналога канторовых пустот я разбиваю генератор на два не связанных друг с другом элемента. Чтобы получаемая фрактальная кривая оставалась интерпретируемой как береговая линия, генератор включает в себя связную ломаную, состоящую из Nc звеньев и соединяющую концевые точки интервала [0, 1]. Этот элемент мы назовем берег-генератором, так как он определяет, каким образом изначально прямое побережье преобразуется в побережье фрактальное. Оставшиеся N−Nc звеньев образуют замкнутую петлю, которая «порождает» острова и называется поэтому остров-генератором. Ниже приводится пример такого составного генератора:

На последующих этапах построения субострова всегда находятся у левой половины берег-генератора (при движении от 0 к 1) и остров-генератора (при движении по часовой стрелке).

Первая неожиданность: предельный фрактал в этом случае характеризуется двумя различными размерностями. Собрав вместе береговые линии всех островов, получим D=lnN/ln(1/r), однако береговая линия каждого отдельного острова имеет размерность Dc=lnNc/ln(1/r), причем соблюдается неравенство

1≤Dc.

Суммарная береговая линия, не будучи связной, является сама по себе не кривой, а бесконечной суммой (Σ) замкнутых кривых (петель). Предлагаю ввести для ее обозначения термин сигма-петля (или σ- петля).

Заметим, что моделирование полученного соотношения между D и Dc при описании реальных островов требует некоторых дополнительных допущений, кроме, разумеется, тех случаев, когда его можно вывести из соответствующей теории (см. главу 29).

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ

Доказательство применимости закона Корчака к островам, рассмотренным в последнем разделе, проще всего осуществляется тогда, когда генератор включает в себя один остров, а терагоны избегают самопересечений. (Напомню, что терагонами называются аппроксимирующие ломаные линии.) В этом случае на первом этапе создается один остров — обозначим его «диаметр», определяемый √a, через λ0. На втором этапе образуется N островов диаметра 0, а результатом m-го этапа будет Nm островов диаметра λ=rmλ0. В целом, всякий раз, как λ умножается на r, количество островов Nr(Λ>λ) умножается на N. Следовательно, распределение Λ (для всех значений λ вида rmλ0) описывается выражением

Nr(Λ>λ)=Fλ−D,

ключевым показателем в котором является фрактальная размерность береговой линии! Как следствие:

Nr(A>a)=F'a−B, где B=D/2;

т. е. мы самостоятельно вывели закон Корчака. При других значениях λ или a получится ступенчатая кривая, знакомая нам по главе 8, где она описывала распределение длин канторовых пустот.

Результат не зависит ни от Nc, ни от Dc. Его можно распространить на тот случай, когда генератор включает в себя два или более островов. Заметим, что эмпирически полученное значение B для всей Земли составляет величину порядка 0,6, что весьма близко к половине размерности D, полученной измерением длин береговых линий.

ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ Е > 2

Применив наше построение к пространству, мы убедимся в том, что E-мерный диаметр, определяемый как (объем)1/E, подчиняется гиперболическому выражению вида Nr((объем)1/E>λ)=Fλ−D, ключевым показателем в котором снова является D.

Перейти на страницу:

Похожие книги

1991. Хроника войны в Персидском заливе
1991. Хроника войны в Персидском заливе

Книга американского военного историка Ричарда С. Лаури посвящена операции «Буря в пустыне», которую международная военная коалиция блестяще провела против войск Саддама Хусейна в январе – феврале 1991 г. Этот конфликт стал первой большой войной современности, а ее планирование и проведение по сей день является своего рода эталоном масштабных боевых действий эпохи профессиональных западных армий и новейших военных технологий. Опираясь на многочисленные источники, включая рассказы участников событий, автор подробно и вместе с тем живо описывает боевые действия сторон, причем особое внимание он уделяет наземной фазе войны – наступлению коалиционных войск, приведшему к изгнанию иракских оккупантов из Кувейта и поражению армии Саддама Хусейна.Работа Лаури будет интересна не только специалистам, профессионально изучающим историю «Первой войны в Заливе», но и всем любителям, интересующимся вооруженными конфликтами нашего времени.

Ричард С. Лаури

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Прочая справочная литература / Военная документалистика / Прочая документальная литература
Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального
Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Эта книга изменит ваше представление о мире. Джордан Элленберг, профессор математики и автор бестселлера МИФа «Как не ошибаться», показывает всю силу геометрии – науки, которая только кажется теоретической.Математику называют царицей наук, а ее часть – геометрия – лежит в основе понимания мира. Профессор математики в Висконсинском университете в Мэдисоне, научный сотрудник Американского математического общества Джордан Элленберг больше 15 лет популяризирует свою любимую дисциплину.В этой книге с присущими ему легкостью и юмором он рассказывает, что геометрия не просто измеряет мир – она объясняет его. Она не где-то там, вне пространства и времени, а здесь и сейчас, с нами. Она помогает видеть и понимать скрытые взаимосвязи и алгоритмы во всем: в обществе, политике и бизнесе. Геометрия скрывается за самыми важными научными, политическими и философскими проблемами.Для кого книгаДля тех, кто хочет заново открыть для себя геометрию и узнать об этой увлекательной науке то, чего не рассказывали в школе.Для всех, кому интересно посмотреть на мир с новой стороны.На русском языке публикуется впервые.

Джордан Элленберг

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература