ОБОБЩЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО ЗАКОНА КОРЧАКА
Составим список всех островов некого региона в порядке уменьшения их размера. Общее количество островов, размер которых превышает a
, будем записывать как Nr(A>a), < обозначение построено по подобию обозначения Pr(A>a), позаимствованного из теории вероятности. ► В данном случае a — это возможное значение картографической площади острова, а букву A будем использовать для обозначения площади неопределенной величины.Обозначив через B
и F' положительные константы (показатель и префактор, соответственно), получим следующее, весьма замечательное, соотношение между площадью и количеством:Nr(A>a)=F'a−B
.Если мы захотим приписать кому-либо честь открытия этого правила, то лучше всех, пожалуй, подходит кандидатура И. Корчака [279] (хотя, по его утверждению, B=1/2
, что я считаю невероятным и не обоснованным представленными в статье данными). Более того, значение B различно для различных регионов и всегда больше 1/2. Позвольте мне теперь показать, что вышеприведенный обобщенный закон является аналогом распределения, полученного нами в главе 8 для длин пустот в канторовой пыли.КОНТИНЕНТ И ОСТРОВА КОХА. ИХ РАЗЛИЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
Для построения коховского аналога канторовых пустот я разбиваю генератор на два не связанных друг с другом элемента. Чтобы получаемая фрактальная кривая оставалась интерпретируемой как береговая линия, генератор включает в себя связную ломаную, состоящую из N
c звеньев и соединяющую концевые точки интервала [0, 1]. Этот элемент мы назовем берег-генератором, так как он определяет, каким образом изначально прямое побережье преобразуется в побережье фрактальное. Оставшиеся N−Nc звеньев образуют замкнутую петлю, которая «порождает» острова и называется поэтому остров-генератором. Ниже приводится пример такого составного генератора:
На последующих этапах построения субострова всегда находятся у левой половины берег-генератора (при движении от 0 к 1) и остров-генератора (при движении по часовой стрелке).
Первая неожиданность: предельный фрактал в этом случае характеризуется двумя различными размерностями. Собрав вместе береговые линии всех островов, получим D=
lnN/ln(1/r), однако береговая линия каждого отдельного острова имеет размерность Dc=lnNc/ln(1/r), причем соблюдается неравенство1≤D
c.Суммарная береговая линия, не будучи связной, является сама по себе не кривой, а бесконечной суммой (Σ
) замкнутых кривых (петель). Предлагаю ввести для ее обозначения термин сигма-петля (или σ- петля).Заметим, что моделирование полученного соотношения между D
и Dc при описании реальных островов требует некоторых дополнительных допущений, кроме, разумеется, тех случаев, когда его можно вывести из соответствующей теории (см. главу 29).СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ
Доказательство применимости закона Корчака к островам, рассмотренным в последнем разделе, проще всего осуществляется тогда, когда генератор включает в себя один остров, а терагоны избегают самопересечений. (Напомню, что терагонами называются аппроксимирующие ломаные линии.) В этом случае на первом этапе создается один остров — обозначим его «диаметр», определяемый √a
, через λ0. На втором этапе образуется N островов диаметра rλ0, а результатом m-го этапа будет Nm островов диаметра λ=rmλ0. В целом, всякий раз, как λ умножается на r, количество островов Nr(Λ>λ) умножается на N. Следовательно, распределение Λ (для всех значений λ вида rmλ0) описывается выражениемNr(Λ>λ)=Fλ−D
,ключевым показателем в котором является фрактальная размерность береговой линии! Как следствие:
Nr(A>a)=F'a−B
, где B=D/2;т. е. мы самостоятельно вывели закон Корчака. При других значениях λ
или a получится ступенчатая кривая, знакомая нам по главе 8, где она описывала распределение длин канторовых пустот.Результат не зависит ни от N
c, ни от Dc. Его можно распространить на тот случай, когда генератор включает в себя два или более островов. Заметим, что эмпирически полученное значение B для всей Земли составляет величину порядка 0,6, что весьма близко к половине размерности D, полученной измерением длин береговых линий.ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ Е > 2
Применив наше построение к пространству, мы убедимся в том, что E
-мерный диаметр, определяемый как (объем)1/E, подчиняется гиперболическому выражению вида Nr((объем)1/E>λ)=Fλ−D, ключевым показателем в котором снова является D.