Фрактальная геометрия природы

Объясняя значение D/E=2/3, Киз отмечает, что компоненты, как правило, размещены в пределах объема модуля, тогда как соединения проходят через их поверхности. Чтобы показать, что это наблюдение имеет самое непосредственное отношение к правилу Рента, достаточно допустить, что все компоненты имеют приблизительно одинаковые объем v и площадь поверхности σ. Так как C — это общий объем модуля, деленный на v, величина C^1/3 будет приблизительно пропорциональна радиусу модуля. С другой стороны, T — это общая площадь поверхности модуля, деленная на σ, т. е. величина T^1/2 также будет приблизительно пропорциональна радиусу модуля. Правило Рента всего лишь выражает эквивалентность двух различных мер радиуса в стандартной пространственной фигуре. E=3 — это евклидова размерность модуля, a D=2 — размерность стандартной поверхности.

Следует сказать, что понятие модуля весьма неоднозначно, его даже можно считать неопределенным, однако правилу Рента это ничуть не мешает, пока подмодули в модуле соединяются друг с другом поверхностями.

Так же легко интерпретируются и крайние случаи, упомянутые выше. В стандартной линейной структуре E=1, а граница между компонентами сводится к двум точкам; следовательно, D=0. В стандартной плоской структуре E=2, a D=1.

Однако когда отношение E/D не равно ни 3/2, ни 2/1, ни 1/0, стандартная евклидова геометрия не позволяет интерпретировать величину C как объем, а T — как площадь. Между тем, такие интерпретации имеют значительную практическую ценность — и не составляют никакой сложности для геометрии фрактальной. Для пространственной схемы, контактирующей с внешним миром всей своей поверхностью, E=3, a D может принимать любое значение между 2 и 3. Для плоской схемы, контакт которой с внешним миром осуществляется по всей длине ограничивающей ее кривой, E=2, a D может принимать любое значение между 1 и 2. Случай интегрального параллелизма D=E подразумевает, что граница имеет форму кривой или поверхности Пеано. Кроме того, если граница используется не полностью, «эффективной границей» может стать любая поверхность, размерность D которой находится в интервале от 0 до E.

Рис. 169. ОБЛАКА (о) И ЗОНЫ ДОЖДЕЙ (•). ГРАФИК ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИМЕТРА ОТ ПЛОЩАДИ В ДВОЙНОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ МАСШТАБЕ (РИСУНОК ВЗЯТ ИЗ [319].)

13 ОСТРОВА, КЛАСТЕРЫ И ПЕРКОЛЯЦИЯ; СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ

Эта глава посвящена фрактальным σ-кривым, т. е. фракталам, которые состоят из бесконечного количества непересекающихся фрагментов, каждый из которых представляет собой связную кривую. Конкретные случаи охватывают широкий диапазон от береговых линий островов в архипелаге до такого важного физического феномена, как перколяция. Начальные разделы главы содержат новый материал, которого не было во «Фракталах» 1977 г.; остальная часть также в значительной степени обновлена.

Начнем с того, что перефразируем вопрос главы 5 и спросим, сколько же островов окружает берега Британии? Несомненно, их количество столь же велико, сколь и неопределенно. А если добавить к списку островов все скалы, малые скалы и просто торчащие над водой камни, то длина этого списка устремится чуть ли не к бесконечности.

Поскольку поверхность Земли весьма тщательно «сморщена», полная площадь любого острова — так же, как и длина его береговой линии — географически бесконечна. Однако области, окруженные береговыми линиями, имеют вполне определенную «картографическую площадь». А то, каким образом эта картографическая площадь разделена между различными островами, является важной географической характеристикой. Можно даже утверждать, что такое «соотношение между площадью и количеством» вносит больший вклад в понимание географических форм, чем описание очертаний отдельных береговых линий. Например, если мы будем рассматривать берега Эгейского моря, нам наверняка захочется включить сюда и берега его многочисленных островов. Этот вопрос, вне всякого сомнения, заслуживает самого тщательного количественного исследования, и в этой главе мы предпримем попытку такого исследования, воспользовавшись обобщением кривой Коха.

Далее мы рассмотрим разные другие фрагментированные фигуры, получаемые обобщением уже знакомых нам фракталообразующих процессов: либо процедуры Коха, либо створаживания. Эти фигуры мы будем называть контактными кластерами, причем распределение диаметров в зависимости от количества окажется для них таким же, что и для островов.

Особый интерес представляют контактные кластеры, заполняющие плоскость, в частности, кластеры, образуемые некоторыми кривыми Пеано, терагоны которых не имеют точек самопересечения, но имеют несколько тщательно контролируемых точек самокасания. В саге о приручении чудовищ Пеано появляется, таким образом, новая глава!

И последнее (только по порядку, а отнюдь не по значимости): в эту главу включена первая часть прецедентного исследования геометрии перколяции, весьма важного физического феномена, рассмотрение которого будет продолжено в главе 14.