Фрактальная геометрия природы

Показатель D оказывается определяющим и в особом случае канторовой пыли (E=1), однако здесь имеется одно существенное отличие. Длина за пределами канторовых пустот обращается в нуль, тогда как площадь за пределами «коховых островов» вполне может быть положительной (как, впрочем, чаще всего и бывает). К этому предмету мы вернемся в главе 15.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО КАК МЕРА ФРАГМЕНТАЦИИ

Вышеописанное построение допускает следующее изменение генератора:

Общая величина D остается неизменной, однако береговая размерность D_c принимает наименьшее возможное значение, D_c=1. То есть в рамках этой модели береговые линии островов могут быть спрямляемы! В этом случае общая величина D определяет не степень иррегулярности, а единственно степень фрагментации. Размерность D характеризует здесь не извилистость отдельных кривых, а целое соотношение между количеством прямоугольных островов в бесконечном семействе и их площадью.

При измерении длины кривой шагом ε результат все еще стремится к бесконечности при ε→0, однако теперь для этого имеется другая причина. Шагом длины ε можно измерять только острова, диаметр которых не меньше ε. Однако по мере того, как ε→0, число таких островов возрастает, и измеренная длина изменяется пропорционально ε^1−D — точно так же, как и в отсутствие островов.

В общем случае D_c>1, значение D_c характеризует только степень иррегулярности, в то время как D описывает степень иррегулярности и фрагментации в совокупности.

Фрагментированная фрактальная кривая может иметь касательные в любой точке. Закруглив углы островов, можно добиться того, что к береговой линии в любой ее точке можно будет провести касательную, причем площади островов — а с ними и общая размерность D — останутся неизменными. Таким образом, фрактальность σ- кривой и отсутствие у кривой касательных — вовсе не одно и то же.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ОСТРОВОВ

Безвредная расходимость. При a→0 количество островов Nr(A>a)=Fa^−B стремится к бесконечности. Следовательно, закон Корчака вполне согласуется с нашим первоначальным наблюдением относительно практически бесконечного числа островов.

Относительная площадь наибольшего острова. Этот последний факт приемлем математически только потому, что суммарная площадь очень маленьких островов конечна и пренебрежимо мала, с Общая площадь всех островов, площадь каждого из которых меньше ε, изменяется пропорционально значению интеграла функции a(Ba^−B−1)=Ba^−B на интервале от 0 до ε. Так как B<1, интеграл сходится, и его значение B(1−B)⁻¹ε^1−B стремится к нулю по мере уменьшения ε. ►

Следовательно, относительный вклад самого большого острова в суммарную площадь всех островов стремится к некоторому положительному пределу по мере того, как увеличивается количество островов. Он отнюдь не является асимптотически пренебрежимым.

Относительная длина самой длинной береговой линии. С другой стороны, если D_c=1, то длины побережий оказываются распределены по гиперболическому закону с показателем D>1. То есть суммарная длина береговой линии маленьких островов становится бесконечной. По мере того, как продвигается построение и увеличивается число островов, длина побережья наибольшего острова становится величиной относительно пренебрежимой.

Относительно пренебрежимые множества. В более общем виде неравенство D_c выражает то обстоятельство, что длина кривой, построенной только с помощью генератора береговой линии, пренебрежимо мала по сравнению с длиной всего побережья. Аналогичным образом, прямая (D=1) пренебрежимо мала по сравнению с плоскостью (D=2). Примерно по той же причине, по какой точка, выбранная наугад на плоскости, практически никогда не попадает на ось x, точка, выбранная наугад на «сердцевинном» острове, со всех сторон окруженном субостровами, почти никогда не приходится на его береговую линию.

В ПОИСКАХ БЕСКОНЕЧНОГО КОНТИНЕНТА