Фрактальная геометрия природы

Когда 1, деревья самопересекаются при θ<θ_крит, следовательно, если мы хотим обойтись без самопересечений, то выбор доступных значений θ сужается. Деревья на рис. 223 удовлетворяют условию θ=θ_крит, однако мы начнем с предположения, что θ=θ_крит+ε.<2<>

Деревья. На первый взгляд, деревья на рисунке кажутся самоподобными, поскольку каждая ветвь вместе с произрастающими из нее меньшими ветвями является уменьшенной копией целого. Однако на самом деле две ветви, выходящие из главного разветвления, не дают в сумме целого: необходимо прибавить сюда и остаток, т. е. ствол дерева. Даже с точки зрения здравого смысла, таким остатком никак нельзя пренебречь. Более того, люди, как правило, придают большее значение стволам и ветвям деревьев, нежели концам ветвей. Если верить интуиции, ветви «господствуют» над своими концами.

Кроме того, независимо от значения D, концы ветвей дерева без самопересечений образуют пыль с размерностью D_T=0, а ветви (неважно, с включенными концами или нет) – кривую с размерностью D_T=1. Следовательно, топологически ветви господствуют-таки над своими концами. В самом деле, чтобы отделить от множества точку P и ее окрестность, необходимо удалить либо одну (если P - конец ветви), либо две (если P принадлежит внутренней части ветви), либо три точки (если P - точка ветвления).

Перейдем к фрактальному аспекту. Размерность множества концов ветвей D, а размерность каждой ветви 1. Что касается целого, то оно, не будучи масштабно-инвариантным, все же характеризуется фрактальной размерностью, определяемой по формуле Хаусдорфа – Безиковича, причем эта размерность не может быть ни меньше D, ни меньше 1, а на деле оказывается равной большей из двух величин. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Фрактальные деревья. Когда D>1, фрактальная размерность всего дерева равна D. Несмотря на то, что ветви доминируют в конструкции как с точки зрения здравого смысла, так и топологически, во фрактальном смысле ими можно пренебречь. Так как D>D_T, дерево представляет собой фрактальное множество, в котором величина D служит мерой ветвления. Таким образом, нам открывается еще одна грань фрактальной размерности в добавление к ее способности выступать качестве меры иррегулярности и фрагментации. Когда мы перейдем в главе 17 к не нитевидным деревьям, мы обнаружим, что гладкая поверхность с достаточным количеством острых локализованных «выступов» может оказаться чем-то «бóльшим», чем стандартная поверхность.

Субфрактальные деревья. В случае 0 линейная мера (совокупная длина) всего дерева конечна и положительна, так что его фрактальная размерность неизбежно равна 1. Следовательно, D=D_T, т. е. такое дерево не является фрактальным.<1<>

Тем не менее, если подобрать единицы измерения таким образом, чтобы длина ствола составила 1−2r, то ветви (рассматриваемые как открытые интервалы) можно будет разместить вдоль пустот линейной канторовой пыли C, которая занимает интервал [0,1] и характеризуется теми же значениями N=2 и r, что и множество концов ветвей. Аналогичным образом, на множестве C можно разместить и сами концы ветвей. Получается, что интервал [0,1] целиком заполняется отображениями точек нашего дерева. Не отображаются только те точки, на которых держатся ветви. Эти точки образуют счетное остаточное множество.

Вспомним о замечании, сделанном нами по поводу чертовой лестницы на рис. 125 – ее форма необычна, но фракталом она не является. Если важность этих форм будет возрастать и далее, им может понадобиться особое и тщательно выбранное название. Пока же остановимся на субфракталах.

В качестве последнего эксперимента заменим прямолинейные ветви фрактальными кривыми с размерностью D^*>1. Когда D^*, фрактальные свойства дерева определяются ветвями, а все дерево целиком представляет собой фрактал с размерностью D^*. В случае же D>D^* наше дерево будет фракталом с размерностью D.

НЕОДНОРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Думаю, настала пора вводить новое определение. Фрактал F называется однородным, если все множества, полученные в результате пересечения F с диском или шаром, центр которого принадлежит F, имеют одинаковую топологическую (D_T) и фрактальную (D>D_T) размерности.

Очевидно, что кривые Коха, канторова пыль, разветвленные кривые и т. д. являются однородными фракталами. А остовы деревьев с D>0 из предыдущей главы следует отнести к фракталам неоднородным.