Фрактальная геометрия природы

Еще более явным выглядит построение на плоскости. Вырежем из единичного квадрата крест площади λ₁, оставив четыре малых квадрата по углам. Затем вырежем из каждого малого квадрата крест относительной площади λ₂. Этот каскад порождает пыль, топологическая размерность D_T которой равна 0, а площадь выражается произведением ∏₀^∞(1−λ_k). Если площадь не обращается в нуль, D=2.

Аналогичным образом можно получить в E− мерном пространстве пыль положительного объема с размерностями D_T=0 и D=E.

ПЛАВАЮЩАЯ ВЕЛИЧИНА ln N/ ln (1/r)

⊲Хотя канторовы пылевидные множества положительной меры площади или объема не имеют размерности подобия, представляется полезным записать равенство r_k=(1−λ_k)/2 и рассмотреть формальные размерности, определяемые как D_k=lnN/ln(1/r_k).

В своем медленном изменении размерность D_k воплощает идею об эффективной размерности, рассмотренную в главе 3 при описании спутанной в шар нити. На прямой размерность D=1 предельного множества C_* представляет собой предел отношения ln2/ln(1/r_k). Более того, заключение D=1 не требует непременной справедливости неравенства ∑λ_k<∞, а удовлетворяется выполнением более слабого условия λ_k→0. Как следствие, мы имеем три класса линейных канторовых пылевидных множеств: а) с размерностью 0 и нулевой длиной; б) с размерностью D=1 и нулевой длиной, и, наконец, в) с размерностью D=1 и положительной длиной.<1<>

Случай, подобный последнему (в), может произойти и с кривыми Коха. Для этого достаточно изменять генератор на каждом этапе построения и позволить его размерности D устремиться к 2. Возьмем, например, r_k=k/2 и присвоим N_k (а значит и D_k) максимальное значение, о котором мы говорили в пояснении к рис. 83. Предельная кривая в этом случае обладает весьма примечательным сочетанием свойств: ее фрактальная размерность D=2 нестандартна для кривой, однако ее топологическая размерность (D_T=0) и площадь, которая обращается в нуль, являются стандартными.

Та же комбинация свойств характерна и для броуновского движения (см. главу 25), только здесь она достигается при избежании двойных точек.

Формальная размерность может дрейфовать не только в сторону значения D=2, но и прочь от него. Например, k этапов построения заполняющего плоскость дерева могут завершиться этапами с размерностью D<2. Результат такого построения бывает полезен при моделировании определенных речных бассейнов, которые в масштабах, превышающих внутренний порог η, выглядят как заполняющие плоскость, но в областях меньшего масштаба орошают почву не столь эффективно. Значение η очень велико в пустынях и очень мало (вплоть до 0) во влажных джунглях. Эффективная размерность таких рек составит D=2 для масштабов, больших η, и D<2 для масштабов, меньших η.>

КРИВЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПЛОЩАДИ

Так как наше интуитивное представление о пылевидных множествах весьма несовершенно, нас мало беспокоит пыль положительной длины или объема. А вот кривую, площадь которой отлична от нуля, проглотить уже значительно сложнее. Поэтому после того, как Лебег [294] и Осгуд [458] убедили всех в том, что глотать все равно придется, эти кривые сменили кривую Пеано на посту самого чудовищного чудовища. После описания соответствующего примера я покажу, что действительность не так страшна, как идея: поверхности положительного объема оказываются, в самом буквальном смысле, близки сердцу любого человека.

А идея заключается в обобщении построения со срединным смещением, приведенного на рис. 71. Мы оставляем неизменными бухты и полуострова, каждый из которых представляет собой треугольник, вдающийся в треугольник болота, причем середина основания полуострова совпадает с серединой основания болотного треугольника. Новизна состоит в том, что относительные ширины λ_k бухт и полуостровов больше не являются постоянными, но стремятся к нулю при увеличении k таким образом, что ∏₀^∞(1−λ_k)>0. При таком построении площадь болота не стремится к нулю и, следовательно, предельное болото имеет размерность D=2. С другой стороны, болото оказывается совершенно отличным от любого стандартного множества с размерностью 2. Оно не только не имеет внутренних точек, но и является кривой с D_T=1, поскольку окрестность любой точки может быть отделена от остального множества удалением всего двух точек.

Идею приведенного выше построения мы позаимствовали у Осгуда [458], несколько упростив его причудливую манеру упрощения сложных надуманных конструкций. Однако не дóлжно судить о ценности научного открытия, исходя из причин его совершения.

ГЕОМЕТРИЯ АРТЕРИЙ И ВЕН