Фрактальная геометрия природы

Однако реальные бронхи не являются бесконечно тонкими, поэтому мы, в лучшем случае, можем рассчитывать лишь на значение показателей D и Δ, чуть меньшее 3, что вполне согласуется с опытными данными. Это значение подразумевает одинаковую степень несовершенства во всех точках ветвления – однако такой результат может быть получен и как побочное следствие самоподобия с остатком и не нуждается в особом рассмотрении.

Размерность. Ветви нашего дерева образуют стандартное множество: его размерность и в топологическом, и во фрактальном смысле равна E. Если оболочка каждой ветви является гладкой, то размерность всей оболочки равна показателю Δ.

АЛЬВЕОЛЫ – ВНУТРЕННИЙ ПОРОГ

Как обычно, процесс интерпретации не достигает бесконечно тонких бронхов, прерываясь при некотором пороге. Это происходит после пятнадцатого разветвления, а сам порог имеет ступенчатую структуру, которую я нахожу геометрически безупречной.

Основное замечание таково: хотя бесконечное самоподобное разветвление заполнило бы в конце концов все доступное пространство, процесс идет достаточно медленно, так что после первых пятнадцати этапов разветвления оказывается заполненной только малая часть объема легкого. Для того чтобы заполнить оставшееся пространство за малое число этапов, следует сделать трубы значительно толще, чем предполагает самоподобная экстраполяция. В самом деле, из слов Вайбеля ([585], с. 123 – 124) можно заключить, что на этапах после пятнадцатого диаметр трубок больше не уменьшается (т. е. показатель Δ перестает быть определенным). Длина трубок также становится больше, чем можно было ожидать, исходя из соображений подобия, причем предельный коэффициент равен 2. На рис. 237 видно, что самоподобные ветви прорастают примерно на половину ближайшего доступного пустого пространства и, следовательно, коэффициент 2 выглядит в высшей степени логично. Кроме того, последнее обстоятельство еще раз показывает, что программа роста легких обусловлена исключительно свойствами пространства и не нуждается в каком-либо дополнительном кодировании.

СНОВА О ГЕОМЕТРИИ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ

Вернемся к кульминационному моменту главы 15, где я заявил, что фрактальные чудовища Лебега – Осгуда составляют самую сущность нашей плоти. Допустим, что область ветвления A (артерии) занимает примерно 3% объема области B(тело), и что область A подходит бесконечно близко к каждой точке области B. Я утверждаю, что толщина ветвей области A должна уменьшаться быстрее, чем это происходит в самоподобных деревьях. Теперь, когда мы установили, что в некоторых случаях скорость уменьшения толщины характеризуется показателем Δ, мы вполне можем поинтересоваться, определен ли этот показатель для артерий.

Представьте себе, он и в самом деле определен в широком поддиапазоне от 8-го до 30-го разветвления, которые происходят между сердцем и капиллярами; более того, об этом факте известно уже почти столетие. Р. Тома [567], а затем Р. Гроут [178] подвели итоги своих экспериментальных исследований, и пришли к значению Δ=2,7. Их оценка была исчерпывающим образом подтверждена Сувой и Такахаси [546].

НАСТОЯЩИЕ ДЕРЕВЬЯ

Налюбовавшись объектами, к которым термин дерево применим только фигурально, мы возвращаемся к тем деревьям, которые изучает ботаника. «Нормальными» в данном случае представляются значения D=3 и Δ=2, обусловленные аналитическими соображениями. Разумеется, они вряд ли универсальны: при столь поразительном разнообразии ботанических форм наверняка найдутся отклонения, подчас даже более интересные, чем «норма». Равенство Δ=2 имеет любопытное следствие: если поставить рядом почти самоподобное дерево бронхов и дерево-растение, то ветви последнего покажутся чрезвычайно редкими. Сквозь точную модель легкого ничего нельзя разглядеть, тогда, как лишенная листвы крона дерева свободно просматривается во всех направлениях.

Причина того, что D и Δ принимают целочисленные значения, соответствующие евклидовым размерностям объемных тел и поверхностей, заключается, по мнению д' Арси Томпсона, в том, что «рост дерева управляется простыми физическими законами, которые и определяют величину относительных изменений в объеме и площади». Более конкретное объяснение находим в работе [191]: «Задачу об энергетическом обмене в дереве можно упростить, представив дерево как систему, в которой необходимо оросить наибольшую возможную площадь при наименьшем производимом объеме, обеспечив одновременный отвод поглощенной энергии». Поскольку объемы и площади несоизмеримы между собой в рамках евклидовой геометрии, геометрическая задача об архитектуре деревьев является, по сути, фрактальной. Фрактальный характер этой задачи становится еще более очевидным в тех случаях, когда ни D, ни Δ не являются целыми числами.

ЗНАЧЕНИЯ D И Δ НАСТОЯЩИХ ДЕРЕВЬЕВ