Фрактальная геометрия природы

Обсуждая в главе 12 поверхность мозга, мы не принимали во внимание сеть аксонов, соединяющих различные его части. В случае мозжечка аксоны соединяют его поверхность с внешним веществом, и мы получаем в результате поверхность серого вещества, которая обволакивает дерево, состоящее из белого вещества. Я пересмотрел рассуждения главы 12 с учетом этого дерева и нашел, что полученные при этом поправочные члены для соотношения между площадью и объемом позволяют достичь лучшего согласия с экспериментальными данными. Однако это слишком длинная история, и вряд ли стоит пересказывать ее здесь.

Ветвление нейронов. Клетки Пуркинье в мозжечке млекопитающего имеют почти плоскую форму, а их дендриты образуют заполняющий плоскость лабиринт. По мере перехода от млекопитающего к голубям, крокодилам, лягушкам и рыбам плотность заполнения уменьшается [314]. Было бы замечательно, если бы это уменьшение соответствовало уменьшению размерности D; однако это не так, и предположение о фрактальной природе нейронов пока остается лишь предположением.

Закон Ролла. У. Ролл [486] отмечает, что нейронные деревья с постоянным значением d^Δ, где Δ=1,5, электрически эквивалентны цилиндрам и, следовательно, весьма удобны для изучения. За подробностями рекомендую обратиться к [238].

КАКОВА ШИРИНА РЕКИ МИССУРИ?

Вернемся к рекам. Несмотря на концептуальную значимость моей «пеанианской» модели (см. главу 7), она может рассматриваться лишь как первое приближение. Эта модель, в частности, предполагает, что ширина реки обращается в нуль, тогда как реальные реки всегда имеют положительную ширину.

Необходимо найти ответ на очень важный эмпирический вопрос – сохраняется ли неизменным диаметрический показатель Δ на протяжении всех разветвлений реки? Если показатель Δ определен, возникает другой вопрос: положительна разность 2−Δ или равна нулю? Я не знаю прямого способа ответить на эти вопросы, однако известно, что объем стока речной воды (Q) остается при разветвлениях постоянным, следовательно, вполне может заменить величину d^Δ. Мэддок (см. [297]) обнаружил, что d~Q^1/2, отсюда Δ=2. Кроме того, глубина реки пропорциональна Q^0,4, а скорость течения пропорциональна Q^0,1. И сумма показателей не обманывает наших ожиданий: 0,5+0,4+0,1=1.

Еще в 30-е г. Дж. Лейси заметил, что равенство Δ=2 верно и для системы устойчивых ирригационных каналов в Индии, которая ставит перед специалистами по гидравлике вполне определенные задачи. Значит, можно надеяться на появление какого-нибудь гидромеханического объяснения, которое станет для рек тем же, чем стало объяснение Мюррея для легких.

Равенство Δ=2 имеет еще одно интересное следствие: если изобразить реки на карте в виде лент, правильно передав их относительную ширину, то, исходя из формы рек, угадать масштаб карты невозможно. (Угадать масштаб невозможно и на карте речных излучин, но это уже совсем другая история.)

Те, кто полагает, будто Леонардо знал обо всем на свете, несомненно, увидят показатель Δ=2 в продолжение цитаты, которая открывала эту главу: «Совокупная ширина всех ветвей (потока) воды на любой стадии его течения равна ширине основного потока (при условии, что скорости течения всех потоков одинаковы)».

VI САМООТРАЖАЮЩИЕСЯ ФРАКТАЛЫ

18 САМОИНВЕРСНЫЕ ФРАКТАЛЫ, АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И МЫЛО

Большая часть настоящего эссе посвящена фракталам, которые либо полностью инвариантны при преобразованиях подобия, либо, по меньшей мере, «почти» инвариантны. В результате у читателя может сложиться впечатление, что понятие фрактала неразрывно связано с самоподобием. Это решительно не так, однако поскольку мы только начинаем знакомиться с фрактальной геометрией, мы должны, прежде всего, рассмотреть своего рода фрактальные аналоги прямых линий евклидовой геометрии… мы можем называть их «линейными фракталами».

В главах 18 и 19 мы сделаем следующий шаг. В них вкратце описываются свойства фракталов, которые представляют собой соответственно наименьшие множества, инвариантные при геометрической инверсии, и границы наибольших ограниченных множеств, инвариантных при возведении в квадрат.

Оба этих семейства фундаментально отличаются от самоподобных фракталов. При должным образом выбранных преобразованиях масштабируемые фракталы остаются инвариантными, однако для их построения необходимо указать форму генератора и установить некоторые другие правила. С другой стороны, одного того, что фрактал «генерируется» каким-либо нелинейным преобразованием, часто бывает достаточно для определения, т. е. генерации, его формы. Кроме того, многие нелинейные фракталы ограничены, т. е. имеют заранее заданный конечный внешний порог Ω<∞. Те, кого по каким-либо причинам не устраивала неограниченность Ω, будут, несомненно, обрадованы этим обстоятельством.