Фрактальная геометрия природы

Затравки и кланы. Возьмем любое множество S (назовем его затравкой) и добавим к нему преобразования множества S под действием всех операций группы G. Результат, который мы назовем здесь кланом S, является самоинверсным. Хотя, конечно, смотреть тут особо не на что. Например, если множество S представляет собой расширенную плоскость R^⋕ (т. е. плоскость ℝ плюс точка в бесконечности), то клан S абсолютно идентичен множеству ℝ^⋕=S.

Химические инверсные группы. Кроме того, может случиться так, что при некоторой заданной группе G, основанной на инверсиях, клан каждой области S покрывает всю плоскость целиком. В этом случае самоинверсное множество также должно представлять собой всю плоскость целиком. По причинам, которые прояснятся в главе 20, я предлагаю называть такие группы хаотическими. Нехаотическими группами мы обязаны Пуанкаре, однако они носят имя Клейна: дело в том, что Пуанкаре однажды ошибочно приписал какую-то из предыдущих работ Клейна Л. Фуксу; Клейн выразил протест, и Пуанкаре в знак примирения пообещал, что назовет свое следующее великое открытие именем Клейна – и ведь назвал!

Придерживаясь пока нехаотических групп, обсудим три самоинверсных множества, отобранных еще Пуанкаре, затем еще одно множество неясного происхождения и, наконец, пятое, важность которого я обнаружил самостоятельно.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОЗАИКА ИЛИ ТАЙЛИНГ

Не многим из поклонникам творчества Морица Эшера известно, что этот знаменитый рисовальщик частенько черпал вдохновение непосредственно из трудов «неизвестных» математиков и физиков (см. [89]). Вся его работа часто состояла в простом добавлении украшений к самоинверсным мозаикам, известным Пуанкаре и представленным на многочисленных иллюстрациях в [154].

Эти множества (обозначим их через T) получаются посредством объединения кланов самих окружностей C_m.

Так как группа G нехаотична, дополнением объединенных кланов окружностей C_m является совокупность круговых многоугольников, называемых «открытыми плитками». Любую открытую плитку (или ее замыкание) можно трансформировать в любую другую открытую (или замкнутую) плитку посредством последовательности инверсий, принадлежащих группе G. Иными словами, клан любой замкнутой плитки есть ℝ^⋕. Что более важно, клан любой открытой плитки есть дополнение множества T. А T является, так сказать «раствором», на который укладываются эти плитки. Плоскость ℝ^⋕ самоинверсна. Множество T и его дополнение также самоинверсны и образуют «гиперболическое разбиение» или «мозаику» на плоскости ℝ^⋕. (Английское слово tessellation, «мозаика», происходит от латинского tessera «квадрат», которое, в свою очередь, восходит к греческому τεσσαρες «четыре», однако плитки вовсе не обязательно должны быть четырехугольными – подойдет любое число, большее 2.) А на рисунках Эшера каждая плитка украшена вдобавок причудливой картинкой.

ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ИНВЕРСНОЙ ГРУППЫ

Самым интересным самоинверсным множеством является самое маленькое. Оно называется предельным множеством (и обозначается буквой ℒ), поскольку является также множеством предельных точек преобразований любой исходной точки под действием операций группы G. Оно принадлежит клану любой затравки S. Проясним формальное определение: множество ℒ состоит из таких предельных точек, которые не могут быть получены конечным числом инверсий. На интуитивном уровне это множество можно представить как область скопления бесконечно малых потомков.

Множество ℒ можно свести к точке или окружности, однако в общем случае оно является фрагментированным и/или/ иррегулярным фрактальным множеством.

Множество ℒ стоит в мозаике особняком, как «множество бесконечно малых плиток». Оно играет по отношению к конечным элементам мозаики такую же роль, какую играют концы ветвей (см. главу 16) по отношению к самим ветвям. Однако здесь ситуация проще: подобно ℒ мозаика T представляет собой самоинверсное множество без остатка.

Множество ℒ называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного количества окружностей вместе с их предельными точками. В данном случае его фрактальность является исключительно следствием фрагментации. Этот прецедент был изучен и осмыслен (хотя и в несколько многословной манере) на раннем этапе истории предмета.

Сначала мы построим основной пример, а затем покажем его самоинверсность. Аполлоний Пергский – это древнегреческий математик, живший в III в. до нашей эры. Он был представителем александрийской школы и верным последователем Евклида и известен, помимо прочего, тем, что составил алгоритм построения пяти окружностей, касательных к трем заданным окружностям. В том случае, когда заданные окружности взаимно касательны, число аполлониевых кругов равно двум. Как мы вскоре убедимся, вполне можно предположить, не потеряв при этом в общности, что две из заданных окружностей являются внешними по отношению друг к другу, но содержаться внутри третьей.