Фрактальная геометрия природы

В любом случае, поскольку D есть дробное число, а D_T=1, аполлониевы салфетка и сеть являются фрактальными кривыми. В данном контексте величина D представляет собой меру фрагментации. Если, например, «удалить» диски, радиус которых меньше ε, то периметр оставшихся промежутков будет пропорционален ε^1−D, а площадь – пропорциональна ε^2−D.

МНОЖЕСТВО ℒ В НЕФУКСОВЫХ ЦЕПЯХ ПУАНКАРЕ

Самоинверсные фракталы, получаемые при инверсиях относительно не столь особых конфигураций порождающих окружностей C_m, оказываются более сложными, чем любая аполлониева сеть. Чуть позже я познакомлю вас со своей собственной рабочей конструкцией, которая в большинстве случаев вполне удовлетворительно характеризует множество ℒ. Она является большим шагом вперед по сравнению с предыдущим, предложенным Пуанкаре и Клейном, методом, который весьма громоздок и очень медленно сходится.

Однако старый метод также сохраняет свою значимость, поэтому я предлагаю рассмотреть его на примере особого случая. Пусть окружности C_m образуют конфигурацию, которую можно назвать цепью Пуанкаре; эта конфигурация представляет собой совокупность M окружностей C_m, расположенных по кругу и соответственно пронумерованных, так что окружность C_m касательна к C_m−1 и C_m+1 (по модулю M) и не пересекает никаких других окружностей цепи. В этом случае множество ℒ представляет собой кривую, которая разделяет плоскость на две области – внешнюю и внутреннюю. (Воздавая должное Камилю Жордану, который первым обнаружил неочевидность того, что плоскость можно таким образом разделить одной-единственной петлей, такие петли называются с тех пор кривыми Жордана.)

В случае, когда все окружности C_m ортогональны одной окружности Γ, множество ℒ совпадает с Γ. Этот случай, называемый фуксовым, в настоящей главе не рассматривается.

Построение Пуанкаре для множестваℒ. Ниже приводится полное описание общепринятого построения множества ℒ и моего альтернативного варианта для случая особой цепи с M=4, показанной на следующем рисунке.

Для получения ℒ Пуанкаре и Клейн (см. [154]) поэтапно заменяют исходную цепь цепями, составляемыми из все возрастающего числа все уменьшающихся звеньев. На первом этапе каждое звено C_i заменяется инверсиями остальных звеньев C_m относительно C_i; таким образом, получается, в общей сложности, M(M−1)=12 меньших звеньев. Они показаны на рисунке справа вверху на фоне негативного изображения исходных звеньев. И так далее – на каждом этапе мы берем полученную на предыдущем этапе цепь и инвертируем ее относительно каждого из исходных звеньев C_m. На рисунке черным цветом показано несколько последовательных этапов построения, причем каждый из них наложен на результат предыдущего этапа, показанный белым цветом на сером фоне. В конце концов, цепь истончается в нить, т. е. в ℒ.

К сожалению, некоторые звенья и после достаточно большого количества этапов остаются довольно крупными, и даже сильно продвинутые аппроксимации предельной цепи дают довольно слабое представление о множестве ℒ. Это неприятное свойство прекрасно иллюстрирует рисунок 255.

ПОНЯТИЕ О ФРАКТАЛЬНОЙ ОСКУЛЯЦИИ

Мой способ построения множества ℒ основан на новом для нас понятии фрактальной оскуляции, которое расширяет рамки ее очевидного воплощения в аполлониевом случае.

Стандартная оскуляция. Это понятие непосредственно связано с концепцией кривизны. Первым приближением стандартной кривой в окрестности регулярной точки P является касательная прямая. Вторым приближением является окружность, касательная к которой в этой точке совпадает с упомянутой прямой, а кривизна – с кривизной кривой. Такая окружность называется оскулирующей.

Для различения окружностей, касательных к данной кривой в точке P, очень удобно использовать параметр (обозначим его буквой u), который представляет собой инверсию интервала (произвольно ориентированного), соединяющего точку P с центром окружности. Обозначим индекс оскулирующей окружности через u₀. Если u₀, то небольшой участок кривой с центром в точке P целиком лежит с одной стороны касательной окружности, если же u>u₀, то – с другой.

Величина u₀ есть то, что физики называют критическим значением, а математики – разрезом. Кроме того, значение |u₀| определяет локальную «кривизну».

Глобальная фрактальная оскуляция. В случае аполлониевой сети попытка определить оскуляцию через кривизну лишена смысла. Однако в любой точке сети, где касательны две принадлежащие упаковке окружности, они, очевидно, «охватывают» остаток множества ℒ, заключенный между ними. Возникает искушение назвать их обе окружности оскулирующими.