Фрактальная геометрия природы

Верхняя фигура. В цепях Пуанкаре с M=4 по крайней мере один из дисков Δ_ijk (назовем его Δ₁₂₃) всегда не ограничен и пересекается с диском Δ₃₄₁. (На данном рисунке диск Δ₃₄₁ также не ограничен, однако в других случаях это не так.) Объединение дисков Δ₁₂₃ и Δ₃₄₁ (показанное на рисунке серым цветом) дает первое приближение области, внешней к кривой ℒ. Оно аналогично приближению области, внешней к кривой Коха K, с помощью правильного выпуклого шестиугольника (см. рис. 71).

Диски Δ₂₃₄ и Δ₄₁₂ также пересекаются, и их объединение (показанное на рисунке черным цветом) дает первое приближение внутренней области ℒ. Оно аналогично приближению внутренней области кривой K с помощью двух треугольников, образующих правильную шестиконечную звезду (см. рис. 71).

Средняя фигура. Второе приближение области, внешней к кривой ℒ, достигается добавлением к дискам Δ₁₂₃ и Δ₃₄₁ их инверсий относительно окружностей C₄ и C₂, соответственно. Результат (серая область) аналогичен второму приближению области, внешней к кривой K, на рис. 71.

Соответствующее второе приближение внутренней области ℒ достигается добавлением к дискам Δ₂₃₄ и Δ₄₁₂ их инверсий относительно окружностей C₁ и C₃, соответственно. Результат (черная область) аналогичен второму приближению внутренней области кривой K на рис. 71.

Нижняя фигура. Внешняя область ℒ (серый цвет) является объединением кланов Δ₁₂₃ и Δ₃₄₁. Внутренняя же (черный цвет) – объединением кланов Δ₂₃₄ и Δ₄₁₂. Тонкая структура внутренней области ℒ показана на рис. 255 внизу (при построении использованы разные цепи Пуанкаре). Черная и серая открытые области вместе покрывают всю плоскость (за вычетом кривой ℒ).

Рис. 254. Самографический фрактал (вблизи предела Пеано)

Группы, основанные на инверсиях, интересуют математиков, прежде всего потому, что они связаны с определенными группами гомографией. Гомография (называемая также гомографией Мебиуса или дробно-линейным преобразованием) отображает z- плоскость по закону z→(az+b)/(cz+d), где ad−bc=1. В наиболее общем виде эта гомография может быть представлена как результат инверсии, симметрии относительно линии (что есть вырожденная инверсия) и вращения. Вот почему при отсутствии вращения исследователь гомографией может почерпнуть много интересного из изучения групп, основанных на инверсиях. Очевидно, однако, что введение вращений открывает новые богатые возможности.

На рисунке изображен пример предельного множества ℒ для группы гомографий. Построил его Дэвид Мамфорд (в ходе исследований, стимулом для которых послужили новые результаты, о которых говорится в данной главе), а затем любезно разрешил опубликовать свое построение в этой книге. Фигура эта почти заполняет плоскость и демонстрирует поразительные аналоги (и равно поразительные различия) с почти заполняющей плоскость кривой, изображенной на рис. 270.

Фрактальная природа предельного множества группы гомографий в широком диапазоне условий была доказана Т. Акадзой, А. Ф. Бирдоном, Р. Боуэном, С. Дж. Паттерсоном и Д. Салливеном. См. [545].

Рис. 255. Знаменитый самоинверсный фрактал, исправленный вариант (построение Мандельброта)

Рисунок вверху слева воспроизводит рис. 156 из книги Фрикке и Клейна [154], который призван изображать самоинверсный (в моей терминологии) фрактал, генератор которого состоит из пяти окружностей, ограничивающих центральную область (она показана черным цветом). Этот рисунок весьма часто появляется в математической литературе.

Действительной формой этого фрактала является контур фигуры, изображенной вверху справа; фигура эта построена с помощью моего метода оскулирующих σ- дисков. Расхождение, конечно, ужасное. Фрикке знал, что кривая ℒ должна содержать окружности, и велел иллюстратору включить их в рисунок. Обо всем остальном он не знал и, очевидно, даже не подозревал, насколько иррегулярной фигуры ему следует ожидать.

В действительности кривая ℒ включает в себя границу ℒ^* фигуры, построенной справа внизу с использованием моего алгоритма. Эта граница ℒ^* представляет собой самоинверсный фрактал, соответствующий четырем из тех порождающих окружностей, что образуют цепь Пуанкаре. Ясно видно, что преобразования ℒ^* при иных инверсиях принадлежит ℒ. Этот рисунок подробно рассмотрен в работе [400].

19. КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ. САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ ДРАКОНЫ

В этой главе мы рассмотрим два семейства очень простых нелинейных преобразований (или отображений) и исследуем несколько таких фрактальных множеств, которые при этих преобразованиях остаются инвариантными и для которых они могут служить генераторами.

Во-первых, дробно-линейное преобразование вещественной линии поможет нам лучше понять нашу старую знакомую – канторову пыль. Эти замечания, конечно, можно было вставить в главу 8, однако мне кажется, что они будут лучше восприняты на данном этапе.