Фрактальная геометрия природы

СепараторS. Топология наибольшего ограниченного самоквадратируемого множества зависит от того, где расположена точка μ по отношению к открытой мною разветвленной кривой S, которую я теперь называю сепаратором. Сепаратор – это связная граница черной фигуры на рис. 268 (внизу); иначе говоря, это некая «предельная лемниската», т.е. предел при n→∞ алгебраических кривых, называемых лемнискатами и определяемых выражением |f^*_n(0)|=R, где R есть некоторое большое число. Структура кривой S показана на рис. 269.

Атомы. Открытая область внутри S разбивается на бесконечное множество максимально связных множеств, которые я предлагаю называть «атомами». Границы двух атомов либо совсем не пересекаются, либо имеют одну общую точку (назовем ее «связью»), которая принадлежит S.

Топологическая размерность. Когда точка μ лежит вне области, ограниченной кривой S, наибольшим ограниченным квадратируемым множеством является пыль (пыль Фату). Если же μ находится внутри S или является связью, то таким наибольшим множеством будет область, ограниченная некоторой самоквадратируемой кривой. Из принадлежащих S точек, μ по крайней мере, несколько дают древовидную кривую.

Самоквадратируемые фракталы. Если верить слухам, то фрактальность вышеупомянутых пылей и кривых при μ≠0 была полностью доказана Денисом Салливеном и для некоторых других случаев, и я ничуть не сомневаюсь, что такое доказательство осуществимо для всех случаев без исключения.

Форма самоквадрируемой пыли или кривой изменяется непрерывно вместе с μ; следовательно, размерность D должна быть гладкой функцией от μ.

Ветвление. Когда λ находится внутри одного из открытых пустых дисков, изображенных на рис. 269 (вверху), самоквадратируемая кривая будет простой замкнутой кривой (петлей без ветвления), как на рис. 264 и 266.

Когда λ принадлежит окружностям |λ|=1 или |λ−2|=1 или лежит в окружающей их открытой связной области, самоквадратируемая кривая имеет вид разветвленной сети с тремами, ограниченными фрактальными петлями, как драконы на рис. 270.

Когда же λ лежит внутри молекул-островов, которые, как мы вскоре покажем, являются областями не стремления к точке (1,0), самоквадратируемая кривая представляет собой либо σ- петлю, либо σ - дракона, как на рис. 271 (внизу). Новой петли σ не вводит.

Рис. 264. Самоквадрируемые фрактальные кривые при вещественном значении λ

Фигуры на рисунках 264 – 273 публикуются впервые (за некоторыми исключениями, использованными мною в [398]).

Слева представлены наибольшие ограниченные самоквадрируемые области при различных значениях λ (а именно, 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 и 3,0). Черная фигура в центре охватывает интервал [0,1].

λ=1 : ДВУСТВОРЧАТАЯ РАКОВИНА.

λ=3: дракон Сан-Марко. Своего рода безудержная математическая экстраполяция очертаний венецианской базилики на фоне неба вместе с ее отражением в затопленной пьяцце: я окрестил эту кривую драконом Сан-Марко.

Справа помещена кривая при λ=3,3260680. Это значение λ является ядерным (согласно определению на с. 262) и соответствует периоду w=2. Кривая развернута на 90°, иначе она не входила в отведенные для иллюстрации рамки.

Рис. 266. Обобщение самоквадрируемых фрактальных кривых при вещественных λ

Изображенная на рисунке «драпировка» была построена в памяти компьютера с помощью процесса, который сводится к отсечению от исходного куба всех точек, итерации которых при отображении z→λz(1−z) уходят в бесконечность. Параметр λ - вещественное число, изменяющееся в интервале от 1 до 4. Ось λ расположена вертикально, а координаты x и y образуют комплексное число z=x+iy.

Любое горизонтальное сечение представляет собой наибольшую ограниченную самоквадрируемую область с соответствующими значениями параметра μ.

При особом значении λ=2 границей сечения является окружность; будем считать ее «поясом» нашей задрапированной фигуры.

При всех остальных значениях λ границами сечений являются фрактальные кривые, включая и те, что изображены на рис. 264. Можно различить замечательные «складки», расположение которых изменяется в зависимости от λ; ниже пояса они «вдавлены» внутрь, а выше пояса выступают наружу.