Фрактальная геометрия природы

Особый интерес представляют наросты на стене, с которой свисает драпировка. К сожалению, данная иллюстрация не может показать сложную структуру верхней части модели во всей ее красе. А). Для каждого значения λ драпировка включает в себя (в качестве своего рода «опоры») фрактальное дерево, составленное из итерированных прообразов точек x - интервала [0,1]. При всех малых и некоторых больших значениях λ<3 ветви этого дерева обладают по всей своей длине некоторой толщиной. Однако при других больших значениях λ от дерева остается лишь голый остов, полностью лишенный толщины. На рисунке мы можем видеть ветви вдоль прямых x=1/2 или y=0, остальные же при данном графическом процессе неизбежно оказываются потеряны. Б). Некоторые горизонтальные участки стены за драпировкой полностью покрыты крохотными «холмами» или «складками», однако мы можем увидеть лишь немногие, самые выдающиеся из них. Эти холмы и складки относятся к «молекулам – островам» (см. рис. 268 и 269), пересекающим вещественную ось. С учетом замечаний А) и Б) теория Мирберга – Фейгенбаума предстает в более общем виде.

Рис. 268 и 269. Сепараторы отображений z→λz(1−z) и z→z²−μ

Рис. 268 (внизу).μ- отображение. Значения μ внутри замкнутой черной области, ограниченной фрактальной кривой, таковы, что итерации точки z₀=0 при отображении z→z²−μ не уходят в бесконечность. Большая точка заострения соответствует точке μ=−1/4, а самая правая точка – точке μ=2.

Рис. 269 (вверху).λ- отображение. Значения λ внутри замкнутой черной области и внутри пустого диска удовлетворяют неравенству Reλ>1 и таковы, что итерации точки z₀=1/2 при отображении z→λz(1−z) не уходят в бесконечность. Полное λ - отображение симметрично относительно прямой Reλ=1.

Диск|λ−2|≤1и диск|λ|≤1без точкиλ=0. Значения λ внутри этих областей таковы, что итерации точки z₀=1/2 сходятся к некоторой ограниченной предельной точке.

Корона и отростки. Снаружи пустых дисков λ - отображение образует «корону». Она разбивается на «отростки», «корнями» которых являются «принимающие связи», определяемые как точки вида λ=exp(2πim/n), где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1.

Рис. 268 (вверху). На рисунке показана часть инверсии λ - отображения относительно точки λ=1. Если внимательно рассмотреть на λ - отображении отростки, корни которых имеют вид λ=exp(2πi/n), может сложиться впечатление, что «соответствующие точки» лежат на окружностях. Рисунок подтверждает истинность этого впечатления. Правильность других кажущихся окружностей подтверждается с помощью других инверсий.

Молекулы – острова. Многие «пятна», возникающие при вышеописанных отображениях, представляют собой истинные «молекулы – острова», о которых впервые сообщается в [398]. Форма такой молекулы идентична форме всего μ - отображения целиком, если не учитывать нелинейного искажения.

Сепаратор, основания и деревья. Граница заполненной черной области при λ и μ - отображениях является связной кривой; так как эту кривую обнаружил я, моим долгом было дать ей имя – я назвал ее сепаратором S. Множество внутри ограниченной этой кривой области разбивается на открытые атомы (см. текст). Обозначив период атома через w, определим его основание как кривую, на которой значение f^*'_w(z_μ) вещественно.

Основания, лежащие на вещественной оси, известны в теории самоотображений как интервал [0,1], а их замыкание – как интервал [-2,4].

Словом, я обнаружил, что замыкание других атомных оснований разбивается на совокупность деревьев, каждое из которых укореняется на принимающей связи. В каждой точке такого дерева мы имеем несколько степеней ветвления – степень ветвления для концов ветвей плюс порядки бифуркации, ведущей к корню дерева. Кроме того, когда корень дерева приходится на атом-остров, сюда следует добавить порядки бифуркации, ведущей от дисков |λ−2|≤1 и |λ|≤1 к этому атому.

Рис. 269 (внизу слева). Здесь представлена подробная картина λ - отображения вблизи точки λ=2−exp(−2πi/3). Множество внутри S представляет собой предел областей вида f_n(1/2), границами которых являются алгебраические кривые, называемые лемнискатами. Показано несколько таких областей, совмещенных друг с другом. При больших n области, равно как и само λ - отображение, выглядят несвязными; в действительности, они связаны, но вне сетки, использованной при вычислениях.