Фрактальная геометрия природы

Мне думается, что эта замечательная связь между пылевидными множествами, подобными канторовым, и одной из элементарнейших функций заслуживает самой широкой известности, не ограниченной узким кругом специалистов.

μ - АТОМЫ И μ - МОЛЕКУЛЫ

При дальнейшем исследовании параметрического отображения нам будет удобнее пользоваться параметром μ. μ - атом может иметь сердцевидную форму – в этом случае он является «затравкой», с которой связывается бесконечное множество атомов овальной формы (как непосредственно, так и через атомы – посредники). Совокупность взаимно связанных атомов и связей между ними образует «молекулу». Точка заострения затравки связью не бывает никогда.

Каждому атому сопоставлено некоторое целое число w, его «период». Когда точка μ лежит внутри атома периода w, итерации f^*_n(z) уходят в бесконечность или образуют устойчивый предельный цикл, состоящий из w точек. Внутри атома периода w справедливо неравенство |f^*'_w(z_μ)|=1, причем равенство f^*'_w(z_μ)=1 описывает точку заострения, или «корневую» точку. Каждый атом содержит точку (назовем ее «ядром»), в которой выполняются равенства f^*'_w(z_μ)=0 и f^*_w(0)=0.

О ядрах, расположенных на вещественной оси, впервые сообщил Мирберг в 1962 г. [440]; после этого они сплыли лишь в 1973 г. (см. [430]). Соответствующие отображения часто называют «сверхустойчивыми» (см. [83]).

Если рассматривать равенство f^*_w(0)=0 как алгебраическое уравнение относительно μ, то его порядок равен 2^w−1. Следовательно, может существовать не более 2^w−1 атомов периода w; в действительности их меньше, за исключением случая w=1. При w=2 уравнение f^*₂=0 имеет два корня, однако один из них уже является ядром «предыдущего» атома периода 1. В более общем виде все корни уравнения f^*_m(0)=0 являются также корнями уравнения f^*_km(0)=0, где k - целое число, большее 1. Заметим далее, что каждая рациональная граничная точка, расположенная на границе атома периода w и удовлетворяющая условию f^*'_w(z_μ)=exp(2πim/n), где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1, заключает в себе «принимающую связь», готовую присоединить атом периода nw. Как следствие, некоторые новые атомы соединяются с существующими принимающими связями. Однако в этот процесс оказываются вовлечены не все новые атомы, и оставшимся не остается ничего иного, как послужить затравкой для новых молекул. Таким образом, число молекул бесконечно.

Когда значение μ непрерывно изменяется внутри молекулы, каждое направленное наружу прохождение связи ведет к бифуркации: w умножается на n. Пример: увеличение вещественного μ приводит к мирбергову удвоению периода. Инверсия бифуркации, которая я рассматриваю в [398] и называю слиянием, должна прекратиться по достижении периода затравки молекулы. Молекула-континент является областью слияния в c=1, а каждая молекула-остров является областью слияния с c>1. Форма дракона или субдракона регулируется значениями f^*'_w(z_μ) и w/c.

СЕПАРАТОР КАК ФРАКТАЛЬНАЯ КРИВАЯ; ПОКАЗАТЕЛЬ ФЕЙГЕНБАУМА δ КАК СЛЕДСТВИЕ

Я предполагаю, исходя из «перенормировочных» соображений, что чем дальше находятся атомы от затравки своей молекулы, тем более идентичными становятся их формы.

Следствие: граница каждой молекулы локально самоподобна. Так как она не является гладкой в малом масштабе, мы можем считать ее фрактальной кривой.

Это локальное самоподобие позволяет обобщить одно свойство бифуркации Мирберга, о котором сообщают Гроссман и Томэ [179], а также Фейгенбаум [142]. Длины отрезков, отсекаемых все уменьшающимися отростками на вещественной оси λ и μ, образуют убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом δ=4,66920... (см. [83]). Первоначально считалось, что существование коэффициента δ обусловлено особенностями аналитического метода. Рассмотренный в новом свете показатель δ оказывается связан с более широким свойством фрактального скейлинга.

Каждая бифуркация из m>2 ветвей вводит дополнительный базисный коэффициент.

20 ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЬНЫЕ («ХАОТИЧЕСКИЕ») ЭВОЛЮЦИИ

Эта глава имеет своей целью познакомить читателя с одной теорией, которая развивалась вне всякой связи с фрактальными множествами и все же оказалась буквально пронизана ими. Чаще всего ее называют «теорией странных аттракторов и хаотической (или стохастической) эволюции», однако в тексте главы вы, я надеюсь, найдете причины, побудившие меня дать этой теории новое имя (см. заголовок).

Для того чтобы попасть в настоящее эссе упомянутой теории, достаточно было всего лишь быть так или иначе связанной с фракталами; я же считаю оправданным посвятить ей целую главу. Первое оправдание (практическое): эта теория почти не требует какого бы то ни было особого представления, так как бóльшую часть ее основных положений можно рассматривать просто как новую интерпретацию выводов, полученных нами в главах 18 и 19.