Фрактальная геометрия природы

Согласно главе 18, множества ℒ в цепях Пуанкаре является как наименьшими самоинверсными, так и предельными множествами. Переформулируем последнее свойство: при произвольно выбранной начальной точке P₀ ее преобразования под действием последовательности инверсий подходят произвольно близко к каждой точке множества ℒ. Предположим теперь, что эта последовательность инверсий выбирается посредством отдельного процесса, независимого от настоящего и предыдущего положений точки P. При довольно широком разбросе начальных условий всегда можно ожидать (и часто эти ожидания оправдываются), что результирующие последовательности положений P будут притягиваться множеством ℒ. Таким образом, огромное количество публикаций по группам, порождаемым инверсиями, можно интерпретировать в терминах динамических систем.

ОБРАЩЕНИЕ «ВРЕМЕНИ»

Дальнейшие поиски систем с интересными фрактальными аттракторами привели меня к системам, аттракторы которых геометрически стандартны, а вот репеллеры оказываются весьма занятными. Эти два множества легко можно поменять местами, тем самым пустив время вспять, при условии, что операции динамической системы допускают существование обратных операций (орбиты не сливаются и не пересекаются), так что, зная положение точки σ(t), можно определить все σ(t') при t'. Однако данные конкретной системы, которые мы хотим обратить во времени, представляют собой особый случай. Их орбиты похожи на реки: в направлении вниз по склону их путь однозначно определен, вверх же по склону – каждая развилка требует особого решения.

Попытаемся, например, обратить V - преобразование f(x), с помощью которого мы получили канторову пыль в главе 19. При x>1,5 определены две различные обратные функции, и можно, пожалуй, условиться преобразовывать все x>1,5 в x=1/2. Аналогичным образом, две различные обратные функции имеет отображение x→λx(1−x). В обоих случаях осмысленная инверсия предполагает выбор между двумя функциями. В других примерах возможных вариантов больше. Напомню: нам нужно, чтобы выбор между ними осуществлялся посредством отдельного процесса. Эти соображения приводят нас к обобщенным динамическим системам, которые и будут описаны в следующем разделе.

РАЗЛОЖИМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [398]

Потребуем, чтобы одна из координат состояния σ(t) (назовем ее определяющим индексом и обозначим через σ^f(t)) эволюционировала независимо от состояния остальных E−1 координат (обозначим это состояние через σ^*(t)), при условии, что преобразование из состояния σ^*(t) в состояние σ^*(t+1) будет определяться как состояние σ^*(t), так и индексом σ^f(t). В тех примерах, которые я изучил наиболее подробно, конкретное преобразование σ^*(t)→σ^*(t+1) выбирается из конечного набора, включающего в себя G различных возможностей T_g, причем выбирается в соответствие со значением некоторой целочисленной функции g(t)=γ[σ^f(t)]. Иными словами, я рассматривал динамику произведения σ^* - пространства на некоторое конечное индексное множество.

Вообще говоря, в примерах, стимулировавших это обобщение, последовательность g(t) либо действительно случайна, либо ведет себя так, словно является случайной. К рассмотрению случайности мы с вами приступим только в следующей главе, однако я не думаю, что это обстоятельство может нам помешать. Гораздо серьезнее другое: динамические системы представляет собой воплощенный образчик полностью детерминированного поведения, и поэтому просто не вправе допускать какую бы то ни было случайность! Мы, однако, можем ввести воздействие случайности, не постулируя ее явно – нам нужно лишь присвоить функции g(t) значение какого-нибудь в достаточной степени перемешивающего эргодического процесса. Возьмем, например, иррациональное число β и сопоставим функции g(t) целую часть числа σ^f(t)=β^tσ^f(0). Здесь стоило бы сделать еще несколько заявлений, принципиально не сложных, но весьма громоздких, так что я, пожалуй, от этого воздержусь.

РОЛЬ «СТРАННЫХ» АТТРАКТОРОВ