Фрактальная геометрия природы

Области в окрестностях точек заострения и самопересечения заполняются чрезвычайно медленно.

VII СЛУЧАЙНОСТЬ

21 СЛУЧАЙ КАК ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ СОЗДАНИЯ МОДЕЛЕЙ

Хотя фундаментальные разделы фрактальной геометрии имеют дело исключительно с детерминированными конструкциями, истинный смысл и практическая значимость этих разделов остается неочевидной до тех пор, пока мы не исследуем случайные фракталы. И наоборот, изучение фракталов углубляет понимание природы случайности – по крайней мере, мне так кажется.

Первый довод в пользу введения случайности хорошо знаком любому ученому, и тем не менее, он – наряду с прочими, менее общеизвестными замечаниями общего характера – заслуживает отдельного комментария в настоящей главе. В следующей главе нам откроются новые горизонты, и мы убедимся, что введение случайности обусловлено также причинами, специфичными для теории фракталов.

ОЗНАЧАЕТ ОЖИДАНИЕ, А ВЕРОЯТНОСТЬ ОБОЗНАЧАЕТСЯ СОКРАЩЕНИЕМ P T

Чуть ли не в каждой дисциплине принято свое собственное, отличное от других, обозначение для ожидаемого значения переменной X. Мы в настоящем эссе будем придерживаться обозначения, принятого у физиков, , преимущество которого заключается в собственных оригинальных скобках.

Пусть дана некая функция B(t) и ее приращение ΔB(t)=B(t+Δt)−B(t). Тогда величину <ΔB(t)> назовем дельта-средним, а величину <[ΔB(t)−<ΔB(t)>]²> - дельта-дисперсией.

СТАНДАРТНАЯ РОЛЬ СЛУЧАЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

Вернемся к вопросу о протяженности побережья Британии. Как бы ни напоминала нам кривая Коха реальные географические карты, у нее есть один большой недостаток, с которым мы в почти неизменном виде сталкиваемся во всех ранних моделях реальных природных феноменов, рассмотренных в настоящем эссе. Ее элементы абсолютно идентичны между собой, а коэффициент самоподобия является частью масштаба и имеет вид

b^−k, где b - целое число, т.е. 1/3, (1/3)² и т.д.

Модель можно усовершенствовать, введя более сложные детерминированные алгоритмы. Такой подход, однако, не только слишком громоздок, но и обречен на неудачу, так как формирование любой береговой линии происходило в течение многих веков под влиянием многочисленных воздействий, которые, разумеется, никто не фиксировал и которые нельзя сейчас восстановить с какой бы то ни было степенью точности. Полное описание подобного процесса – совершенно безнадежная задача, и такие мысли лучше сразу выбрасывать из головы.

Физики – например, специалисты в теории броуновского движения – знают, как выйти из этого затруднительного положения. Они призывают на помощь статистику. В геоморфологии же без статистики и вовсе не обойтись. В самом деле, на молекулярное движение законы механики оказывают непосредственное влияние, а вот на геоморфологические структуры они влияют через посредство многочисленных и малоизученных факторов. Следовательно, у геоморфолога гораздо быстрее, чем у физика, возникнет искушение забросить подальше надежды на точное описание окружающей действительности и воспользоваться статистическими методами. В других областях, которые мы с вами намерены исследовать, современный уровень знаний о локальных взаимодействиях находится где-то посередине между соответствующими уровнями в физике и геоморфологии.

В ПОИСКАХ НУЖНОЙ СТЕПЕНИ СЛУЧАЙНОЙ ИРРЕГУЛЯРНОСТИ

Может ли случай быть причиной столь высокой степени иррегулярности, какую мы наблюдаем, скажем, в очертаниях береговых линий? Не только может, но и является; более того, во многих случаях степень случайной иррегулярности превосходит всякие разумные пределы. Словом, мы сильно недооцениваем силу случая. Физическая концепция случайности сформирована теориями, в которых случай играет существенную роль лишь на микроскопическом уровне, в то время как на макроскопическом уровне случай теряет свою значимость. У нас все будет не так: в масштабно-инвариантных случайных фракталах, о которых пойдет речь, важность случая одинаково велика на всех уровнях, включая и макроскопический.

ПРАГМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА СЛУЧАЙНОСТЬ

Взаимоотношения между статистической непредсказуемостью и детерминизмом ставят перед исследователем множество захватывающих вопросов, однако в рамках настоящего эссе мы о них говорить не будем. Вместо этого мы вспомним о первоначальном значении английского словосочетания «at random», восходящем к времени средневековья, когда упомянутое словосочетание пришло в английский язык из французского. Поговаривают, что фраза «un cheval á randon» никак не связана ни с математической аксиоматикой, ни с лошадиной психологией, а означает всего лишь иррегулярное движение, направление которого всадник не в состоянии предсказать.