Фрактальная геометрия природы

Рис. 269 (внизу справа). Здесь представлена подробная картина λ - отображения вблизи точки λ=2−exp(−2πi/100). У этого стократно ветвящегося дерева и у z - отображения на рис. 270 имеется несколько весьма удивительных общих свойств.

Рис. 271 и 270. Самоквадрируемые драконы; приближение к «пределу Пеано»

Каждая самоквадрируемая кривая привлекательна по-своему. Я, например, нахожу самыми привлекательными «драконов», изображенных на этих рисунках и на рис. С5.

Драконья линька. Дракон, возводящий сам себя в квадрат, представляет собой совершенно бесподобное зрелище! Чудовищная «линька» отделяет бесчисленные складки от кожи на брюхе и спине дракона. Затем она растягивает шкуру на брюхе и спине так, что ее длина – которая, разумеется, и без того бесконечна – увеличивается вдвое! Затем шкура вновь складывается вдоль спины и брюха. И наконец, на последнем этапе, все складки аккуратно водворяются на новые места.

Фрактальная геральдика. Не следует путать самоквадрируемых драконов с самоподобным драконом от Хартера и Хейтуэя (рис. 101 и 102). Читателю предоставляется прекрасная возможность развлечься, отыскивая немногие сходные черты и многочисленные различия.

Последовательные бифуркации. Наилучшие самоквадрируемые драконы получаются, когда точка λ располагается в отростке (см. рис. 269), который соответствует значению θ/2π=m/n, где m и n - малые целые числа. При бифуркации заданного порядка n вокруг каждой точки сочленения появляется драконьих голов – или хвостов, если хотите. Вторая бифуркация порядка m'/n' разбивает каждую из этих областей на n' «сосискообразных» связей и еще более утончает их.

Чтобы получить умеренно упитанного дракона – ни чрезмерно тучного, ни слишком костлявого, - следует поместить точку λ внутри отростка на некотором расстоянии от его корня. Красиво перекрученные драконы получаются, когда точка λ лежит около одного из двух суботростков, соответствующих порядку бифуркации от 4 до 10: один из суботростков дает изгиб влево, другой – вправо.

Рис. 271 (вверху справа). «Истощенный дракон». Дракон, испытавший на себе бесконечное число бифуркаций, теряет всю свою плоть и ссыхается в скелетообразную разветвленную кривую.

Если множество не расходится в бесконечность, его топологическая размерность равна 0 (для пылевидных множеств Фату), 1 (для недоедающих драконов) и 2 (для всех остальных драконов).

Рис. 271 (внизу).σ- дракон. Это множество связно, точка λ лежит на большом «прибрежном острове» с рис. 269 (внизу).

Рис. 270. Особый пределλ=1. Драконы Пеано. Выберем точку λ на острове, расположенном недалеко от связи при θ=2π/n. При n→∞ величина θ→0; следовательно, λ стремится к 1. Форма соответствующего дракона неизбежно должна устремиться к форме двустворчатой раковины (образующей основание задрапированной фигуры на рис. 266). Однако между n=∞ и n очень большим, но конечным, имеется все же качественное различие.

По мере того, как n→∞, растет число конечностей дракона, его шкура сминается, а ее размерность при этом возрастает. Вся конструкция представляется этаким «драконом-отшельником», пытающимся забиться внутрь двустворчатой раковины λ=1 и способным заполнить всю ее внутреннюю область без остатка, т.е. размерность дракона стремится к D=2. Что же получается? Самоквадрируемая кривая Пеано? Безусловно; однако, как нам известно из главы 7, кривые Пеано вовсе не являются кривыми. Так происходит и здесь: по достижении размерности D=2 наш дракон прекращает свое существование в виде кривой и перевоплощается в область плоскости.

Рис. 273. Вещественные самоквадрируемые пылевидные множества Фату на интервале [0,1]

Работа Фату [139] представляет собой истинный шедевр в рамках того странного литературного жанра, который называется «заметки в «Отчетах» Парижской Академии наук». Задача пишущего в этом жанре часто сводится к тому, чтобы раскрыть по возможности меньше, но при этом создать впечатление, что автор учел все, что только можно было учесть.

Среди прочих восхитительных откровений, которые лучше всего понимаешь только после тщательного самостоятельного изучения, Фату отмечает следующее: когда число λ вещественно и либо λ>4, либо λ<−2, наибольшее ограниченное множество, остающееся инвариантным при преобразовании x→f(x)=λx(1−x), представляет собой пыль, заключенную в интервале [0,1]. На рисунке показана форма этой пыли при λ>4. По вертикальной оси откладывается величина −4/λ в интервале от −1 до 5. Концевые точки x₁ и x₂ средней тремы являются решениями уравнения λx(1−x)=1; на рисунке они образуют параболу. Тремы второго порядка оканчиваются в точках x_1,1, x_1,2, x_2,1 и x_2,2 - таких, что λx_m,n(1−x_m,n)=x_m, и так далее.