Фрактальная геометрия природы

Однако аналогичного метода для экстраполяции канторовой пыли на всю вещественную ось не существует. Это – частное проявление одного очень общего свойства: нелинейная функция f(x), как правило, заключает в себе некоторый конечный внешний предел Ω=∞; при возникновении необходимости в конечном пороге его приходится вводить искусственно.

АНАТОМИЯ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Из главы 7 нам известно, что множество C является очень «разреженным», и все же поведение итераций f(x) приводит к лучшему пониманию тонких различий между его точками.

Вряд ли кто при первом знакомстве с канторовым множеством смог избежать искушения предположить, что оно в конечном итоге сходится к концевым точкам открытых пустых областей. Тем не менее, такое предположение весьма далеко от истины, поскольку множество C содержит, по определению, все пределы последовательностей концевых точек пустот.

Этот факт не считается интуитивно очевидным. Я (равно как и мои соратники и единомышленники) вполне понял бы, если бы наш многострадальный старый знакомец Ганс Хан внес эти предельные точки в свой список концепций, существование которых может оправдать лишь холодная логика. Однако из настоящего обсуждения мы с вами вынесем интуитивное доказательство того, что упомянутые предельные точки обладают сильными и отличными от других индивидуальностями.

Например, точка x=3/4, которую функция f(x) оставляет неизменной, не принадлежит ни какому-либо из интервалов средней трети, ни границе какого-либо из этих интервалов. Итерация точек вида x=(1/4)/3^k сходятся к точке x=3/4. Кроме того, существует бесконечное множество предельных циклов, каждый из которых состоит из конечного числа точек. Множество C содержит также точки, преобразования которых бесконечно перемещаются вокруг него самого.

ГЕНЕРАТОР КВАДРАТОВ

Производящая функция f(x) преобразования «перевернутое V», используемая в предыдущих разделах, была выбрана из-за того, что она дает знакомый нам результат. Однако полученная с ее помощью канторова пыль выглядит несколько надуманной. Заменим ее функцией

x→f(x)=λx(1−x),

неожиданное богатство свойств которой было впервые замечено Фату [139]. Сдвинув точку начала координат, изменив масштаб оси x и положив μ=λ²/4−λ/2, можно записать эту функцию в следующем виде:

x→f^*(x)=x²−μ.

Исходя из соображений удобства, мы будем использовать то f(x), то f^*(x).

Мне представляется уместным назвать функцию f(x) (или f^*(x)) генератором квадратов. Возведение в квадрат является, безусловно, алгебраической операцией, однако здесь оно получает геометрическую интерпретацию, поэтому множества, которые оно оставляет инвариантными, можно называть самоквадратируемыми. Строго говоря, возведение в квадрат заменяет точку абсциссы с координатой x точкой абсциссы с координатой x². Таким образом, самоквадратируемых точек на оси всего три: x=∞, x=0 и x=1. Может показаться, что добавление - μ едва ли способно что-либо в этом изменить, однако на самом деле оно открывает множество самых неожиданных возможностей, рассмотрением которых мы и займемся ниже.

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ ПЫЛЕВИДНЫЕ МНОЖЕСТВА ФАТУ

Произведя на свет всем хорошо известный конечный продукт (а именно – канторову пыль), V - преобразование значительно облегчило нам задачу по изложению сути удивительного, однако никогда не пользовавшегося широкой известностью открытия Пьера Фату. Допустив, что число λ вещественно и удовлетворяет неравенству λ>4, Фату [139] исследует наибольшее из ограниченных множеств на ℝ, остающихся инвариантными при преобразовании f(x). Это множество, которое я называю вещественной пылью Фату, можно считать близким родственником канторовой пыли. Дальнейших объяснений оно не требует; что касается портрета, то он представлен на рис. 273.

В комплексной плоскости при вышеуказанных значениях λ наибольшим ограниченным самоквадратируемым множеством остается вещественная пыль Фату.

САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ КРИВЫЕ ЖЮЛИА НА ПЛОСКОСТИ [398]

Положив μ=0, получаем простейшую самоквадратируемую кривую – окружность |z=1|. При преобразовании z→z² кольцо, однократно опоясывающее окружность, растягивается в кольцо, опоясывающее эту же окружность дважды, причем «пряжка» при z=1 остается неподвижной. Соответствующая наибольшая ограниченная самоквадратируемая область – диск |z|<1.

Однако введение вещественного μ≠0 (см. рис. 264 и 266) или любого комплексного μ (рис. 271 и 270) открывает настоящий ящик Пандоры, доверху набитый бесконечными возможностями, имя которым фрактальные кривые Жюлиа. Они радуют глаз в той степени, в какой дают пищу для ума.