Фрактальная геометрия природы

Для того чтобы распространить это понятие на неаполлониевы множества ℒ, выберем точку, в которой ℒ имеет касательную, и возьмем в качестве отправной точки определение обыкновенной оскуляции, основанное на понятии критичности (или разреза). Новизна же заключается в том, что при −∞ мы заменим одно критическое значение u₀ двумя различными значениями, u' и u''>u', которые определим следующим образом: при любом u множество ℒ целиком лежит с одной стороны нашей окружности, при любом u>u'' - с другой, а при u' части ℒ находятся и с той, и с другой стороны окружности. Что же касается окружностей с индексами, равными u' и u'', я предлагаю их обе считать фрактально оскулирующими.

Любая окружность ограничивает два открытых диска (один из них содержит центр этой окружности, другой – точку в бесконечности). Открытые диски, ограниченные оскулирующими окружностями и не принадлежащие множеству ℒ, мы будем называть оскулирующими дисками.

Случается и так, что одна или обе оскулирующие окружности вырождаются в точку.

Локальное и глобальное. Возвращаясь к стандартной оскуляции, заметим, что эта концепция является локальной, так как ее определение никак не зависит от формы кривой на каком-либо удалении от точки P. Иными словами, кривая, касательная к ней и оскулирующая окружность могут иметь сколько угодно точек пересечения кроме P. Напротив, приведенное выше определение фрактальной оскуляции глобально, хотя это различие и не принципиально. Фрактальную оскуляцию можно определить и локально, причем с соответствующим расщеплением «кривизны» на два числа. Как бы то ни было, в нашей теперешней задаче глобальная и локальная оскуляции совпадают.

Оскулирующие треугольники. С аналогом глобальной фрактальной оскуляции мы, если помните, уже встречались. Для того чтобы определить внутреннюю область нашей старой знакомой снежинки Коха (кривой K) как σ- треугольник, достаточно увеличивать треугольники, выкладываемые на каждом следующем этапе построения фигуры, изображенной на рис. 70, настолько, насколько это возможно без пересечения их со снежинкой.

Σ - ДИСКИ, ОСКУЛИРУЮЩИЕ МНОЖЕСТВО ℒ

Оскулирующие диски и σ- диски являются ключевыми фигурами в моем новом, свободном от перечисленных на с. 247 недостатков, способе построения множества ℒ. Этот способ демонстрируется в полном виде впервые (хотя о нем уже упоминалось в 1980 г. в «Математическом календаре»). Суть его в том, что следует инвертировать не сами окружности C_m, а некоторые из окружностей Γ_ijk, которые (согласно определению на с. 244) ортогональны триплетам C_i, C_j и C_k. Здесь мы опять полагаем, что не все окружности Γ_ijk совпадают с одиночной окружностью Γ.

ОграничениеM=4. Если ограничить число исходных окружностей M четырьмя, то мы сможем быть уверены в том, что для любого триплета i, j, k один из двух открытых дисков, ограниченных окружностью Γ_ijk (т.е. либо внутренний, либо наружный), не содержит ни одной из точек γ_mn, определенных на с. 247. Обозначим этот свободный от точек γ диск через Δ_ijk.

Основой моего способа построения ℒ послужили следующие наблюдения: все свободные от γ диски Δ_ijk оскулируют ℒ; таким же свойством обладают их инверсии и повторные инверсии относительно окружностей C_m, а кланы, построенные с применением дисков Δ_ijk в качестве затравок, заполняют всю плоскость за исключением кривой ℒ.

На рис. 253 мы воспользуемся той же цепью Пуанкаре, какую вы уже видели на с. 247, но изобразим ее в более крупном масштабе. Как и в большинстве случаев, первый этап построения обрисовывает кривую ℒ довольно точно. Последующие этапы весьма «эффективно» добавляют все более мелкие детали, и после нескольких этапов мы уже вполне можем мысленно интерполировать кривую ℒ, не отвлекаясь на ошибки, от которых, к сожалению, не свободен подход Пуанкаре.

ОБОБЩЕНИЯ

Цепи из пяти и более звеньев. В случае, когда число исходных звеньев в цепи Пуанкаре превышает четыре, мой новый способ построения множества ℒ включает в себя дополнительный шаг: сначала следует разделить окружности Γ на две группы. Дело в том, что некоторые из окружностей Γ в этом случае таковы, что каждый из ограниченных ими открытых дисков содержит, по меньшей мере, одну точку γ_mn, в результате чего диск Δ_ijk оказывается, не определен. Такие окружности Γ не оскулируют кривую ℒ, а пересекают ее. Однако для построения кривой они нам не нужны.