Футболоматика: как благодаря математике «Барселона» выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния

На рисунке 5.3 показаны комбинации углов и скоростей, при которых мяч достигает ворот. Подумайте о том, как Златан может выбрать точку на этом чертеже. Например, он мог ударить мяч со скоростью 25 метров в секунду и под углом 40°, и в этом случае мяч пролетел бы над перекладиной. Или он мог ударить его со скоростью 15 метров в секунду и под углом 30°, но тогда тот бы упал и скакал перед воротами. Если Златан выберет вариант, показанный мной на рисунке 5.1 (ударит со скоростью 16 метров в секунду и под углом 40°), то мяч окажется в воротах. Комбинации, которые приведут к голу, занимают лишь небольшой кусочек в обилии всевозможных углов и скоростей. Если мяч послан слишком сильно, он перелетит над перекладиной; если от ноги, он летит под слишком большим или слишком маленьким углом, он не долетит и защитники справятся с ним. Сила также должна быть приложена правильно. Узкая полоска вариантов формируется таким образом, что без математики сложно предсказать, что произойдет. Мяч, полетевший под углом 19° со скоростью 20 метров в секунду, попадет в ворота. Однако если ударить чуть сильнее, то мяч пройдет выше перекладины. При угле запуска в 65° мяч поднимется очень высоко, затем опустится вниз и окажется в сетке. Это очень сложный удар, ведь даже небольшое увеличение угла или уменьшение скорости приведет к тому, что мяч будет скакать перед воротами.

Так как же Златан смог исполнить этот удар правильно? В этом голе была определенная удача. Харт оказался вне своей штрафной и не сумел головой выбить мяч далеко, поэтому Златан оказался в нужном месте в нужное время. Но когда он получил шанс, то идеально приложился к мячу. После многократных просмотров записи (с включенными комментариями) я предполагаю, что мяч покинул ногу Златана со скоростью 16 метров в секунду под углом 40°, как показано на рисунке 5.1. Выбрав не самую большую скорость, Златан оставил зазор для ошибки в выборе угла. Любой угол между 30° и 50° дает одинаковый итог: мяч оказывается в сетке. Если бы он ударил сильнее (например, со скоростью 20 метров в секунду), погрешность была бы намного меньше. Даже с учетом удара через себя Златан минимизировал вероятность совершения ошибки.

Отправил его в космос

Свечка от Златана имеет относительно простую аэродинамику. Основная сила – гравитация, а уравнения те же, что и в школьной программе физики. Златан применяет начальную восходящую силу, а сила тяжести обеспечивает ускорение вниз. Однако это не так просто. В приведенных выше расчетах я упростил ситуацию, проигнорировав здесь другие силы. Сопротивление воздуха замедляет мяч; также Златан подкручивает мяч, и тот, вращаясь, залетает в ворота. Есть о чем задуматься, прежде чем смоделировать движение мяча в полете.

К счастью, группа ракетостроителей делает все необходимое. NASA проводит целую исследовательскую программу, посвященную аэродинамике мяча. Ученые даже создали онлайн-симулятор удара, в котором вы можете ввести позицию, направление, силы и скорость вращения мяча и рассчитать, попадет ли он в цель[52]. У меня нет ресурсов NASA, но я добавил торможение из-за сопротивления воздуха в мой собственный симулятор бисиклет Златана. Один из смоделированных голов показан на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4. Аэродинамика удара Златана Ибрагимовича с учетом сопротивления.

Сопротивление является значительным: из-за него мяч падает под углом, который круче угла запуска. На рисунке 5.4 показано, что мяч запускается под углом 27°. Однако, когда он залетел в ворота, его угол по отношению к земле составил около 80°. Тот факт, что мяч падает более круто, означает, что полоса сочетания скорости и угла запуска сужается. То есть, если по мячу ударить немного сильнее, он будет проходить над перекладиной, если не добить – отскочит перед воротами. Когда Златан наносил удар, он подкрутил мяч, чтобы противодействовать сопротивлению воздуха и сделать траекторию похожей больше на гравитационную параболу. Когда мяч отлетел от его ноги, швед, должно быть, сразу понял, что совершил что-то исключительное. Мяч совершил нужный вираж и приземлился точно в воротах англичан.

Траектория каждого мяча в футбольном матче определяется такими деталями, как подкрутка и сопротивление воздуха[53]. На высоких скоростях также важны материал, из которого изготовлен мяч, и его физические характеристики. Производители пытаются устранить разницу в покрытии, хотя покрышка всех мячей состоит из сшитых вместе панелей. Вариации в конфигурации этих панелей и швов между ними означают, что разные мячи создают отличные друг от друга модели турбулентности вокруг них. Траектории этих мячей могут отличаться друг от друга, даже если они будут запущены абсолютно одинаково.