Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни

Погодите, но как дуги могут быть прямыми линиями? Перед нами пример одного из главных методов развития математики: взять идею из какого-либо контекста – скажем, прямые линии на плоскости – и придумать, как перенести ее в другой контекст. Какое свойство прямых линий мы можем считать общим? В евклидовой геометрии прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками. Давайте это используем. Вероятно, вы уже знакомы с этим общим свойством, если летали на большие расстояния. Дугой большого круга сферы является любая окружность, центр которой совпадает с центром данной сферы. Все меридианы – дуги большого круга, тогда как единственная параллель, являющаяся такой дугой, – экватор. На поверхности сферы кратчайшее расстояние между двумя точками – дуга большого круга, проходящая через эти две точки. Натяните резинку между двумя точками на мяче: это будет кратчайший путь на поверхности сферы между этими двумя точками. И такой кратчайший путь является дугой большого круга.

Для сокращения времени полета и расхода топлива траектории дальних перелетов пролегают по дугам большого круга. Например, Лос-Анджелес находится на 34,1° с. ш., Москва на 55,8° с. ш., однако полет между этими городами пролегает через север Гренландии, около 70° с. ш.

Но вернемся к диску Пуанкаре. Если измерять расстояния линейкой Пуанкаре, кратчайший путь между двумя точками является либо отрезком диаметра диска, либо дугой окружности, перпендикулярной границе диска. С точки зрения диска Пункаре такие линии будут прямыми.

Почему это неевклидова геометрия? Мы видим, что на диске Пуанкаре для любой точки P, не лежащей на заданной линии L, существует множество – на самом деле, бесконечное множество – линий, проходящих через точку P и параллельных линии L (другими словами, не пересекающихся с линией L). Примерами таких линий являются показанные ниже линии M и M'.

Возможно, из школьного курса геометрии вы знаете несколько теорем (помните: две стороны и угол между ними?), которые доказывают, что два треугольника равны, то есть одинаковы по форме (подобны) и по размеру. На диске Пуанкаре всё немного проще: подобные треугольники всегда равны. Следовательно, если посмотреть на рисунок Эшера, рыбки, которые становятся всё меньше по мере приближения к краю диска, при измерении линейкой Пуанкаре оказываются одинакового размера.

Эшер увидел изображение диска Пуанкаре в одной из работ математика Гарольда Коксетера[28], а затем в письмах они вместе обсуждали неевклидову геометрию. Хотя в работе «Предел – круг III» Эшер допустил некоторую художественную вольность (как указал Коксетер, кривые, изображенные Эшером, не совсем неевклидовы), в ней прослеживается математическая идея.

Пару слов о моем наброске. У Эшера рисунок с рыбками продолжается до самого края, хоть и не беспредельно, поскольку тогда ему потребовалось бы изобразить бесконечное количество рыбок. Однако у Эшера рисунок гораздо более скрупулезный, нежели у меня. И я должен напомнить, что он работал в технике, не прощающей никаких ошибок. Я уже говорил, какой кропотливой работы потребовало создание мозаики с треугольниками Серпинского в соборе Альгамбры. И всё же, если какая-то плитка была вырезана неправильно, мастер в любой момент мог вырезать другую при условии, что у него было достаточно камня. Однако Эшер работал в технике резьбы по дереву, каждую рыбку он вырезал из одного куска древесины. Одна ошибка могла испортить всю работу, а не какую-то крохотную деталь. Подумайте об этом, когда вам нужно будет набраться терпения.

* * *

Геометрия – способ структурирования наших представлений о мире, о его формах и динамике. Но нет ли во всем этом большой доли случайности, шаткой неопределенности? Могли ли у нас сложиться совсем иные представления о мире? Если бы фрактальная геометрия Мандельброта была открыта раньше, чем геометрия Евклида, производили бы мы то, что производим сейчас? Думаете, это вопрос из области фантастики? Тогда посмотрите, как повторяются разветвления нашей легочной, кровяной и нервной систем, как складываются нити ДНК, подумайте, как огромные по площади ткани легких или кишечника умещаются в небольших объемах человеческого тела. Фрактальная геометрия придумана эволюцией и используется ею. Если бы вместо того, чтобы пытаться достичь «небесного совершенства», навязанного церковным истолкованием работ Евклида и Аристотеля, люди внимательнее присмотрелись к геометрии природы, наши творения ныне были бы абсолютно иными.

Можно ли сказать, что в совершенно несхожих космологических представлениях различных культур отразились разные восприятия, разные геометрии? Или это просто альтернативные пути, обусловленные историческими нарративами? Но если не существует одной-единственной геометрии, одной-единственной истории – если мир не един, – наши представления о нем должны определяться разными наборами категорий.