Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни

Стоит научиться распознавать фрактальные элементы объектов, и ваше восприятие поменяется навсегда. За многие годы я получил десятки мейлов от приятелей моих студентов с вариациями одной и той же жалобы: «Каждый раз, когда мы идем на занятия, мой сосед по комнате замечает какой-нибудь папоротник, или облако, или трещину на дорожке, и наш разговор прерывается восклицанием: „Это фрактал! Это фрактал!“ Прекратите уже рассказывать об этих фракталах! Сколько хороших бесед вы разрушили». Меня обвиняют в том, что я засоряю умы гуманитариев геометрией.

* * *

Я твердо полагаю, что фракталы невозможно игнорировать, как только вы их увидели. Они навсегда меняют картину мира, которая разворачивается в нашем сознании, навсегда меняют вид тех моделей, что мы выстраиваем.

Впервые я по-настоящему понял это на уроке геометрии в старших классах школы. Некоторое время мы занимались построениями с помощью циркуля и линейки: такие головоломки очень любили древние греки. Мы научились делить отрезки на две, три, четыре и любое количество равных частей. Затем наш учитель, мистер (Ральф) Гриффит, рассказал, что древние греки придумали три задачи, которые они не смогли решить: трисекцию угла (построение угла величиной в одну треть от заданного), квадратуру круга (построение квадрата той же площади, что и заданный круг) и удвоение куба (построение куба с объемом в два раза больше, чем у заданного).

Пока я ломал голову над этими задачами, у меня появилась идея. Возьмем угол AOB: проведем прямую линию от A до O и затем прямую до точки B (см. рисунок на следующей странице). Чтобы разделить угол AOB на три равных угла, подумал я, надо просто разделить на три части отрезок AB – отрезок прямой, соединяющий точки A и B. То есть найти на этом отрезке такие точки C и D, чтобы длина BC совпадала с длиной CD и длиной DA. Ведь мы как раз научились это делать. Тогда, предполагал я, углы AOD, DOC и COB будут равны, а следовательно, угол AOD будет равен одной трети от угла AOB. То, что эта простая идея – на самом деле, первое, что приходит в голову любому, – каким-то образом оставалась незамеченной на протяжении двух десятков веков, не показалось мне чем-то странным и неправдоподобным. У меня даже не закралось никаких сомнений. На мгновение в моем мозгу промелькнул газетный заголовок: «Ученик школы решил задачу, над которой две тысячи лет бились математики».

Я показал свои построения мистеру Гриффиту. У меня был крохотный рисунок, сделанный дешевым циркулем. Мой транспортир показывал практически равные углы. Мистер Гриффит с помощью более точного циркуля сделал рисунок крупнее. Его транспортир показал, что углы были неравны. Учитель не сказал: «Если б это было так просто, неужели ты думаешь, что за две тысячи лет никто не догадался так сделать?» Он был рад, что я попытался.

Я предположил, что геометры просто не смогли найти правильный метод. «Нет, – сказал мистер Гриффит, – просто есть такие задачи, которые не имеют решения, и мы можем это доказать». Что? У какой задачи нет решения? Но, что еще поразительнее, как мы можем знать, что у этой задачи нет решения? Никакого. Три года я не мог принять тот головокружительный факт, что существует доказательство неразрешимости некоторых теорем[32]. Лишь через много лет я всё же понял, почему упомянутые геометрические построения невозможны[33]. Для доказательства требуется очень сложная математика – неудивительно, что древние греки до него не додумались.

Но в школе я этого еще не знал. А вот о том, что в физическом мире есть невозможные вещи, я знал с пеленок. Я не могу взмахнуть руками и полететь на луну. Да и менее глупые вещи мне порой недоступны: я неуклюжий, напрочь лишен ловкости или хотя бы умелости. Но геометрия… то, что в ней есть нечто невозможное, ставило меня в тупик. Как может быть так, чтобы геометрическая задача не решалась при должном усердии? Если это правда, значит, с нашей вселенной что-то явно не в порядке.

Я спросил мистера Гриффита, как вообще доказать невозможность какой-либо математической конструкции. Он не стал объяснять мне доказательство трисекции угла. Вместо этого учитель рассказал, что квадратный корень из двух нельзя записать в виде соотношения целых чисел (еще один вывод, потрясший основы греческой геометрии). Само доказательство простое, ясное и изящное. (Оно включает в себя немного алгебры; вы найдете его в приложении.) Я был несказанно счастлив, когда мистер Гриффит любезно мне всё объяснил шаг за шагом.

В тот вечер, раздумывая над этим изящным решением, я понял, что у геометрии тоже есть границы. Я расстроился минут на десять. А затем осознал, что эти границы делают геометрию еще интереснее. Насколько именно интереснее, я не представлял себе еще многие годы и до сих пор не до конца понимаю. Оказывается, то, что я считал схематическим изображением целого мира, описывало лишь его крохотный уголок.