Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Зенон: Теперь Черепаха впереди него лишь на пять метров. Ахилл вмиг достигает того места.

Ахилл: Хо-хо!

Зенон: Все же за этот миг Черепаха успела немного продвинуться вперед. В мгновение ока Ахилл покрывает и эту дистанцию.

Ахилл: Хи-хи-хи!

Зенон: Но и в это кратчайшее мгновение Черепаха чуточку продвинулась, и опять Ахилл оказался позади. Теперь вы видите, что если Ахилл хочет нагнать Черепаху, ему придется играть в эти «догонялки» БЕСКОНЕЧНО — а следовательно, он НИКОГДА ее не догонит!

Черепаха: Хе-хе-хе-хе!

Ахилл: Хм… хм… хм… хм… хм… Этот довод кажется мне неверным. Однако я никак не могу понять, в чем здесь ошибка.

Зенон: Хороша головоломочка? Это мой любимый парадокс.

Черепаха: Прошу прощения, Зенон, но мне кажется, что вы рассказали нам что-то не то. Через несколько веков этот ваш рассказ будет известен как парадокс Зенона «Ахилл и Черепаха»; он показывает — гм! — что Ахилл никогда не догонит Черепаху. Доказательство же того, что Мир Изменяется Исключительно Иллюзорно (а следовательно, Мир Ультранеподвижен) содержится в вашем «Дихотомическом Парадоксе», не так ли?

Зенон: Ах, какой стыд. Конечно же, вы правы. Это тот парадокс, где объясняется, что идя от А до Б, надо сначала пройти половину пути — но от этой половины также придется сначала пройти половину… и так далее. Оба эти парадокса очень похожи; честно говоря, я просто обыгрывал мою Великую Идею с разных сторон.

Ахилл: Могу поклясться, что эти аргументы содержат ошибку. Хотя я не вижу, где в них ошибка, зато прекрасно понимаю, что они не могут быть верными.

Зенон: Так вы сомневаетесь в правильности моих парадоксов? Отчего же вам самим не попробовать? Видите тот красный флаг в конце дорожки?

Ахилл: Невозможный, сделанный по гравюре Эшера?

Зенон: Тот самый. Как насчет того, чтобы вам с Черепахой пробежаться к флагу наперегонки? Конечно, ей надо будет дать приличную фору, скажем…

Черепаха: Как насчет пятидесяти локтей?

Зенон: Отлично — пусть будут пятьдесят локтей.

Ахилл: Я-то всегда готов.

Зенон: Вот и чудесно. Все это захватывающе интересно! Сейчас мы проверим мою строго доказанную Теорему на опыте! Госпожа Черепаха, будьте так добры, займите позицию на пятьдесят локтей впереди Ахилла.

(Черепаха продвигается на пятьдесят локтей ближе к флагу.)

Ну как, вы оба готовы?

Черепаха и Ахилл: Готовы!

Зенон: На старт… Внимание… Марш!

ГЛАВА I: Головоломка MU

Формальные системы

ОДНИМ ИЗ центральных понятий этой книги является понятие формальной системы. Формальные системы того типа, который я использую, были изобретены американским логиком Эмилем Постом в 1920-х годах; их часто называют системами продукции или системами Поста. Эта глава познакомит вас с одной из таких формальных систем. Надеюсь, что вам захочется хотя бы немного ее исследовать — чтобы вас заинтересовать, я придумал небольшую головоломку.

Головоломка формулируется просто: «Можете ли вы получить MU?» Для начала вам будет дана некая строчка (последовательность букв).^{1} Чтобы не мучить вас неизвестностью, сообщу эту строчку сразу — это будет MI. Кроме этого, вам будут даны правила, с помощью которых вы сможете превращать одну строчку в другую. Вы можете использовать любое правило, применимое в данный момент; при этом, если таких правил несколько, у вас имеется свободный выбор. Именно в этот момент игра с формальной системой ближе всего подходит к искусству. Само собой, главное требование игры — следование правилам. Это ограничение может быть названо «требованием формальности». Возможно, что в данной главе нам не придется подробно на нем останавливаться. Однако, как бы удивительно это вам не казалось, работая с формальными системами последующих глав, вы увидите, что вам частенько захочется нарушать требование формальности, если у вас раньше не было навыка работы с подобными системами.

Наша формальная система — назовем ее системой MIU — использует лишь три буквы: М, U, I. Это означает, что единственными строчками системы MIU будут те, которые используют только эти буквы. Ниже приводятся некоторые строчки системы MIU:

MU

UIM

MUUMUU

UIIUMIUUIMUIIUMIUUIMUIIU

Однако, хотя все эти строчки и правильны, вы еще не можете ими распоряжаться. Пока у вас имеется единственная строчка — MI. Вы можете расширить вашу «коллекцию» путем применения правил. Первое правило нашей системы:

ПРАВИЛО I: Если у вас есть строчка, кончающаяся на I, вы можете прибавить U в конце.

Кстати, надо отметить, если вы уже сами об этом не догадались, что в понятии «строчка» важен определенный порядок букв. Например, MI и IM — две разные строчки. Строчка символов совсем не то же самое, что «мешок» с символами, где порядок символов не играет никакой роли.

Второе правило нашей системы:

ПРАВИЛО II: Если у вас имеется Мx, вы можете прибавить к вашей коллекции Мxx.