Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Интуиция подсказывает разным людям разные ответы. Я отчетливо помню, как был озадачен и заинтригован, заметив разницу между негативной и позитивной характеристиками. Я был совершенно уверен в том, что не только простые числа, но и вообще любое негативно определяемое множество чисел может быть определено позитивно. Интуитивное обоснование моей уверенности заключалось в следующем вопросе: «Как это возможно, чтобы рисунок и фон не содержали совершенно одинаковой информации?» Мне казалось, что они представляют собой одну и ту же информацию, закодированную двумя разными способами. А что думаете по этому поводу вы, читатель?

Выяснилось, что я был прав насчет простых чисел, но ошибался в остальном. Тогда это меня поразило и продолжает поражать и по сей день. Оказывается, что:

существуют такие формальные системы, чье негативное пространство (множество не-теорем) не является позитивным пространством никакой другой формальной системы.

Как выяснилось, этот результат сравним по глубине с Теоремой Гёделя — так что неудивительно, что моя интуиция не могла принять его сразу. Подобно математикам начала двадцатого века, я считал мир формальных систем и натуральных чисел более предсказуемым, чем он оказался в действительности. Выраженное более техническим языком, это утверждение звучит так:

Существуют рекурсивно счетные множества, не являющиеся рекурсивными.

Выражение «рекурсивно счетные» (часто сокращаемое как р.с.) — математическое соответствие нашему художественному понятию «курсивно рисуемые», а рекурсивный — соответствие «рекурсивным». Множество строчек является р. с., когда все они могут быть выведены путем применения типографских правил — например, множество теорем типа S или множество теорем системы MIU; на самом деле, это определение приложимо ко множеству теорем любой формальной системы. Оно сравнимо с понятием о «рисунке» как о «множестве линий, которые могут быть произведены в соответствии с художественными правилами» (что бы это последнее не означало!). А «рекурсивное множество» подобно рисунку, чей фон, в свою очередь, также является рисунком — в таком случае не только рисунок, но и его дополнение будут р. с. Из этого вытекает следующий результат:

Существуют такие формальные системы, у которых нет типографского алгоритма разрешения.

Из чего это следует? Очень просто. Типографский алгоритм разрешения — это метод, отличающий теоремы от не-теорем. Он позволяет нам выводить не-теоремы систематически, идя по списку всех строчек и отбрасывая те, что не являются теоремами. Эту процедуру можно назвать типографским методом вывода множества не-теорем. Однако из предыдущего утверждения (которое мы пока принимаем на веру) следует, что для некоторых формальных систем это невозможно.

Предположим, что мы нашли множество R («R» — рисунок) натуральных чисел, которое мы можем вывести каким-либо формальным путем — вроде множества составных чисел. Предположим, что его дополнением является множество F («F» — фон) — простые числа. Вместе взятые, R и F дают все натуральные числа. Мы знаем правило, позволяющее вывести все числа множества R, для чисел множества F такого правила не существует. Важно, что если числа R выводятся исключительно в возрастающем порядке, то мы всегда можем охарактеризовать F. Трудность заключается в том, что многие р. с. множества производятся при помощи таких методов, которые выводят элементы в произвольном порядке, так что не известно, появится ли какое-либо число, до сих пор пропускаемое, если подождать еще чуть-чуть.

На вопрос «Все ли рисунки рекурсивны?» мы ответили отрицательно. Теперь мы видим что придется ответить отрицательно и на аналогичный вопрос математиков «Все ли множества рекурсивны?» Имея это в виду, давайте вернемся к этому расплывчатому понятию «формы». Обратимся снова к нашим множествам R — рисунки и F — фон. Легко согласиться с тем, что все числа во множестве R имеют какую-то общую «форму» — но можно ли сказать то же самое о числах множества F? Странный вопрос. С самого начала имея дело с бесконечным множеством всех натуральных чисел, весьма сложно прямо и четко определить «дырки», остающиеся в списке после изъятия оттуда неких чисел. Таким образом, возможно что на самом деле у этих дырок нет никаких общих характеристик «формы». Неясно, стоит ли вообще использовать здесь такое соблазнительное словечко как «форма». Может быть лучше не определять этого понятия оставив ему некую интуитивную гибкость.