Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Вот вам еще одна головоломка, над которой вы можете поразмыслить в связи с изложенным выше Можете ли вы охарактеризовать следующее множество чисел (или его негативное пространство)?

1 3 7 12 18 26 35 45 56 69

Чем данная последовательность напоминает рисунок РИСУНОК-РИСУНОК?

Простые числа в качестве рисунка, а не фона

Как же насчет формальной системы для вывода простых чисел? Как это сделать? Способ состоит в том чтобы, не останавливаясь на умножении, обратиться прямо к неделимости, представив ее позитивно. Ниже дана схема аксиом и правило вывода теорем, представляющих понятие числа, не являющегося делителем других чисел (ND = не делитель).

СХЕМА АКСИОМ:  xyNDx, где x и у — строчки тире

Например, -----ND--, где x заменен на «--» и y — на «---»

ПРАВИЛО: Если xNDy является теорема, то xNDxу также будет теоремой

Приложив это правило дважды, вы можете вывести теорему

-----ND------------

которая интерпретируется как «5 не делитель 12». Однако ---ND------ не является теоремой. В чем будет ошибка, если вы попытаетесь вывести эту строчку?

Чтобы определить, что данное число простое, у нас должны быть какие-то сведения о его свойствах неделимости. В частности, мы хотим знать, что это число не делится на 2, 3, 4, и т. д., до числа, меньшего его на единицу. Однако в формальных системах мы не можем позволить себе таких расплывчатых формулировок как «и так далее». Здесь нужна исчерпывающая точность. Нам бы хотелось иметь возможность сказать на языке системы: «число Z свободно от делителей до X» (SOD = свободно от делителей), имея в виду, что не одно число между 2 и X не является делителем Z. Это можно сделать, но здесь есть небольшой трюк. Если хотите, можете попытаться найти его.

Решение заключается в следующем:

ПРАВИЛО: Если --NDz является теоремой, то zSOD-- также будет теоремой.

ПРАВИЛО: Если zSODx и x-NDz являются теоремами, то zSODx также будет теоремой.

Эти два правила, в совокупности, характеризуют понятие свободы от делителей. Все что нам нужно, это указать, что простые числа — это числа, свободные от делителей, включая число на единицу меньшее их самих:

ПРАВИЛО: Если z-SODz является теоремой, то Pz- также будет теоремой.

Не будем забывать, что 2 — тоже простое число!

АКСИОМА: P--

Вот и все, что нам необходимо. Принцип формального выражения «просто-численности» заключается в том, что существует метод проверки, не требующий никакого отступления назад. Вы всегда двигаетесь вперед, проверяя данное число на делимость — сначала на 2, потом на 3, и так далее. Именно эта «монотонность» или однонаправленность — отсутствие игры между укорачивающими и удлиняющими правилами — позволила нам уловить суть простых чисел. И именно этой потенциальной сложностью формальных систем, могущих вместить сколько угодно взаимодействий между движением вперед и назад, объясняются такие ограничивающие результаты как Теорема Гёделя и Проблема Остановки Тюринга, как и тот факт, что не все рекурсивно счетные множества рекурсивны.

Акростиконтрапунктус

Ахилл: Хорошая у вас коллекция бумерангов, я такой нигде не видал!

Черепаха: Обыкновенная, не преувеличивайте, пожалуйста. У любой Черепахи можно увидеть коллекцию ничуть не хуже.

Ахилл: Феноменально! Вы, Черепахи, никогда не перестанете удивлять меня своей любовью к собиранию бумерангов.

Черепаха: Шутить изволите? Да страсть к коллекционированию этого оружия у нас в крови. А сейчас, не угодно ли пройти в гостиную?

Ахилл: Только после Вас, как обычно, госпожа Черепаха. (Следуя за Черепахой, Ахилл входит в гостиную и направляется в угол комнаты.) Я вижу, что у вас также неплохое собрание пластинок. Какую музыку вы предпочитаете?

Черепаха: Актуальный вопрос. Видите ли, хотя я всегда была и остаюсь поклонницей Баха, должна признаться, что сейчас я увлекаюсь довольно необычной музыкой.

Ахилл: Да? Что же это за музыка?

Черепаха: Такая, о которой вы, скорее всего, никогда не слыхали. Я называю ее «разбивальная музыка».

Ахилл: Едва ли не самая поразительная вещь, которую я слыхал от вас за последнее время. Что значит это необычное название?

Черепаха: Рада удовлетворить ваше любопытство. Эта музыка — для разбивания патефонов.

Ахилл: О ужас!

Черепаха: Вы полагаете?

Ахилл: С ума сойти! Воображаю, как вы, пританцовывая с кувалдой в руке, сокрушаете один патефон за другим под звуки «Битвы при Виттории» Бетховена.

Черепаха: Какое у вас образное мышление! Должна вас разочаровать, эта музыка не совсем то, что вы предполагаете. Однако ее истинная природа тоже любопытна. Могу дать вам кое-какие разъяснения…

Ахилл: Интересно… Я весь внимание!

Черепаха: Йоркширский мой приятель, старый Краб (вы с ним, часом, не знакомы?) пришел ко мне однажды с визитом…