Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Подобным иерархическим образом мы приобретаем новые знания, расширяем наш словарный запас или воспринимаем незнакомые предметы. Это особенно интересно, когда мы пытаемся понять картины Эшера, скажем, такие, как «Относительность» (рис. 22), где часто встречаются совершенно невозможные образы. Можно предположить, что в таком случае мы должны пытаться интерпретировать картину снова и снова, пока не найдем непротиворечивой интерпретации — однако мы поступаем совершенно иначе. Мы сидим перед картиной, заинтригованные лестницами, ведущими во всех воображаемых направлениях, и людьми, идущими по одной и той же лестнице в противоречащих друг другу направлениях. Лестницы являются тем «островком уверенности», на котором мы основываем нашу интерпретацию всей картины. Увидев в них знакомый предмет, мы пытаемся затем установить, как они связаны друг с другом. На этом этапе мы сталкиваемся с проблемой. Однако если бы мы попытались отказаться от своих взглядов и поставить под сомнение сами «островки уверенности», то столкнулись бы с трудностями иного рода. Мы никак не можем «перерешить» то, что лестницы — это лестницы. Не рыбы, кнуты или руки, а именно лестницы. (На самом деле, выход у нас все-таки есть: можно оставить все линии картины вообще без интерпретации, как «бессмысленные символы» формальной системы. Этот путь — пример «способа U», или отношения дзен-буддизма к символизму.)

Рис. 22. М. К. Эшер. «Относительность» (литография, 1953).

Таким образом, иерархическая природа нашего восприятия заставляет нас видеть либо сумасшедший мир, либо кучу бессмысленных линий. Так же можно проанализировать и многие другие картины Эшера, опирающиеся на какие-либо стандартные формы, соединенные нестандартным образом. Когда зритель видит парадокс на высшем уровне, уже поздно возвращаться и пытаться поменять исходные интерпретации объектов нижнего уровня. Разница между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией заключается в том, что в последней возможно найти значимые интерпретации для неопределяемых понятий таким образом, что система становится понятной, в то время как в первой конечный результат несовместим с нашей концепцией мира, как бы долго мы не рассматривали картину. Конечно, можно придумать такие гипотетические миры, в которых Эшеровские события могут произойти… но эти миры подчинялись бы законам биологии, физики, математики и даже логики на одном уровне, одновременно нарушая их на другом уровне. Что за странные миры! (Примером этого может служить «Водопад» (рис. 5), где вода подчиняется нормальным законам гравитации, в то время как природа пространства идет вразрез с законами физики.)

Одинакова ли математика во всех возможных мирах?

До сих пор мы подчеркивали тот факт, что внутренняя непротиворечивость формальной системы (взятой вместе с ее интерпретацией) требует наличия некоего возможного мира, в котором все интерпретированные теоремы были бы истинны; единственным ограничением этого мира было бы то, что математика и логика работали бы в нем так же, как и в нашем мире. С другой стороны, внешняя непротиворечивость — непротиворечивость с внешним миром — требует того, чтобы все теоремы были бы истинны в реальном мире. В том случае, когда мы хотим создать непротиворечивую формальную систему, теоремы которой интерпретировались бы как математические суждения, разница между этими двумя типами непротиворечивости, по всей видимости, должна исчезнуть, поскольку мы только что сказали, что математика во всех воображаемых мирах такая же, как и в нашем мире. Таким образом, во всех возможных мирах 1+1 должно равняться 2, в любом мире должно быть бесконечно много простых чисел, прямые углы должны быть конгруэнтны и, разумеется, через точку, лежащую вне прямой должна проходить только одна прямая, параллельная данной.

Минуточку! Последнее — постулат параллельности, и утверждать, что он универсален, было бы ошибкой, как мы только что показали. Если бы постулат параллельности был верен во всех воображаемых мирах, то неэвклидова геометрия была бы невозможна! Это отбрасывает нас назад, в ту же ситуацию, в которой находились Саккери и Ламберт — безусловно, не лучший выход! Что же, если не математика, является общим для всех воображаемых миров? Может быть, логика? Или и она тоже находится «под подозрением»? Могут ли существовать миры, в которых противоречия — нормальное и обыденное явление, миры, где противоречия не являются противоречиями?