Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

В каком-то смысле уже лишь потому, что мы изобрели подобное понятие, такие миры, действительно возможны — однако в более глубоком смысле они также весьма невероятны (Что уже само по себе маленькое противоречие). Говоря серьезно, если мы хотим хоть как-то общаться, то, по видимости, нам придется установить некую общую базу, включающую логику. (Существуют системы верований, отрицающие подобную точку зрения за то, что она слишком логична. В частности, дзен-буддизм с одинаковой готовностью принимает как противоречия, так и непротиворечия Это может показаться непоследовательным, но непоследовательность — органическая часть дзен-буддизма, ну что тут можно сказать?)

Является ли теория чисел одинаковой во всех возможных мирах?

Если мы допустим, что именно логика — одна и та же во всех возможных мирах (заметьте, что мы еще не определили, что такое логика — определение будет дано в последующих главах), будет ли этого достаточно? Возможно ли, что в каких-то мирах количество простых чисел не бесконечно? Не должны ли числа подчиняться одним и тем же законам во всех возможных мирах? Или же лучше вообще считать число неопределяемым понятием, как «ТОЧКА» или «ЛИНИЯ»? В этом случае, теория чисел раздвоилась бы, подобно геометрии, на стандартную и нестандартную. Тогда должно было бы существовать соответствие абсолютной геометрии, некая центральная теория, общая для всех теорий чисел, отличающая их, скажем, от теорий какао, бананов или резины. Большинство современных математиков считают, что такая центральная теория чисел существует — вкупе с логикой она является необходимой частью всех возможных миров. Эта сердцевина теории чисел, соответствующая абсолютной геометрии, называется арифметика Пеано, ее определение будет дано в главе VIII. Также уже точно установлено, что теория чисел действительно разветвляется на стандартную и нестандартные версии. (Это прямое следствие Теоремы Гёделя.) В отличие от ситуации с геометрией, однако, количество «сортов» теории чисел бесконечно, что делает положение с ней значительно более сложным.

Для практических целей все теории чисел одинаковы. Иными словами, если бы конструкция мостов зависела бы от теории чисел (и в каком-то смысле так оно и есть), было бы совершенно неважно, что существует множество ее вариантов — в аспектах, касающихся реального мира, все теории чисел совпадают. Этого нельзя сказать о различных геометриях; например, сумма углов в треугольнике равняется 180 градусам только в эвклидовой геометрии, она больше в эллиптической геометрии и меньше — в гиперболической. Говорят, что однажды Гаусс попытался измерить сумму углов в огромном треугольнике, образованном вершинами трех гор, чтобы раз и навсегда определить, какой именно тип геометрии управляет нашей вселенной. Через сто лет Эйнштейн открыл теорию (общую теорию относительности), утверждающую, что геометрия вселенной определяется количеством материи, в ней содержащейся — таким образом, никакой тип геометрии не присущ пространству как таковому. Это значит, что на вопрос «какой тип геометрии является истинным?» природа дает двусмысленный ответ не только в математике, но и в физике. А как же насчет соответственного вопроса «какой тип теории чисел истинен?»? Мы вернемся к нему после детального разбора Теоремы Гёделя.

Полнота

Если непротиворечивость — это минимальное условие, при котором символы приобретают пассивные значения, то ее дополнение, полнота — максимальное признание этих пассивных значений. Непротиворечивость означает, что «все, что производит система, истинно»; полнота же, наоборот, утверждает, что «все истинные утверждения производятся данной системой». Точнее, мы не имеем в виду все истинные утверждения в мире, а только находящиеся в области, которую мы пытаемся воспроизвести в данной системе. Таким образом, более точное определение полноты следующее: «Каждое истинное утверждение, которое может быть выражено в нотации данной системы, является теоремой.»

Непротиворечивость: когда каждая теорема, будучи интерпретирована, оказывается истинной (в каком-либо из возможных миров).

Полнота: когда все утверждения, которые истинны (в каком-либо из возможных миров) и выразимы в виде правильно сформированных строчек системы, являются теоремами.