Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Вполне возможно, что человек, введя некоторые ограничения и даже искусственные понятия, только таким способом сумел «навести порядок» в природе. Созданная им математика может оказаться не более чем рабочей схемой. Не исключено, что природа в действительности устроена гораздо сложнее и в ее основе нет никакого «плана». Но и тогда математика как метод исследования, описания и познания природы не знает себе равных. В некоторых областях ею исчерпывается все, что мы знаем. Если она и не есть сама реальность, то по крайней мере подходит к таковой ближе, чем любая другая область человеческой деятельности.

Какое влияние оказала философия конвенционализма на формулировку и последующий анализ физико-математических исследований Пуанкаре и как это связано с его релятивистскими воззрениями?

Рис. 17. Континуальные представления Пуанкаре неевклидова пространства-времени

Пуанкаре в своих работах подчеркивал, что видимая нами реальность представляет собой лишь проекцию внешнего мира на четырехмерный пространственно-временной континуум.

-45-

Тут есть два взаимодополняющих взгляда. Во-первых, поскольку ученый всегда «примерял» как метафизик свои математические изыскания к реальной структуре Мироздания, в самой формулировке тех же топологических задач видится некий идеологический подтекст. Привнося новый принцип геометрической эволюции реальности, Пуанкаре в очередной раз демонстрировал перспективную, по его мнению, возможность самых различных интерпретаций своих топологических построений, рассматривая научную теорию как некую чисто логическую структуру, относительно которой теряет смысл само понятие истинности.

Во-вторых, связывая вместе метафизическое содержание открытых им принципов релятивизма, ученый допускал, что понятия теории относительности вполне могут быть абстрагированы от своей реальной почвы и войти в аппарат описания динамической эволюции топологии Вселенной.

-46-

Гл. 3 Гипотеза Пуанкаре

«Математика — не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. Математические "истины" зависят от людей ничуть не меньше, чем восприятие цвета или язык».

Людвиг Виттенштейн

Рис. 18. Топологическое многообразие Пуанкаре

Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.

«С того момента, как гипотеза Пуанкаре была сформулирована более ста лет назад, сообщения о ее доказательстве появлялись почти ежегодно. Анри Пуанкаре, двоюродный брат Раймонда

-47-

Пуанкаре, президента Франции во время Первой мировой войны, был также одним из талантливейших математиков девятнадцатого века. Худой, близорукий, известный своей невероятной рассеянностью, Пуанкаре сформулировал знаменитую задачу за восемь лет до своей смерти, в 1904 году. Формулировка проблемы в качестве побочного вопроса была засунута в конец шестидесятипятистраничной статьи.

Пуанкаре не смог добиться сколько-нибудь заметного прогресса в решении этой проблемы. "Cette question nous entrainerait trop loin" ("Этот вопрос уводит нас далеко в сторону"), — писал он. Пуанкаре был основателем топологии — науки, также называемой "геометрией резинового листа" из-за ее ориентации на исследование внутренних свойств различных пространств».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения