Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Гипотеза, сформулированная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, является центральной проблемой топологии, науки о геометрических свойствах тел, которые не меняются, когда тело вытягивается, скручивается или сжимается. Топологически двухмерную сферу можно сравнительно легко представить как планетарную поверхность, например лунную или земную. Но трехмерный шар в четырехмерном пространстве вообразить уже довольно сложно. Между тем Пуанкаре утверждал, что трехмерная сфера — это единственное ограниченное трехмерное пространство без дыр. Предположение о подобных свойствах многомерного пространства он сделал в 1904 году, когда только начинал заниматься топологией.

Однако тополог скажет, что чашка и бублик — это одно и то же. И объяснит это так. Вообразите, что чашка и бублик представляют собой поверхности, полые внутри и изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма бублика).

Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь интуитивно понятно: как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты — характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, — понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре.

Здравый смысл подсказывает, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка — понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так: представим, что на поверхности имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой).

-51-

Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой.

Можно легко увидеть, что на сфере любая петля стягиваема, а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли — одна продета в дырку, а другая обходит дырку по периметру, которые нельзя стянуть. На рис. 19 показаны примеры нестягиваемых петель. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что «фундаментальная группа многообразия нетривиальна», а если таких петель нет — то тривиальна.

Теперь, чтобы правильно сформулировать гипотезу Пуанкаре, осталось потерпеть еще немного: надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности.

Вернемся на секунду к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Любую из них можно разрезать на очень мелкие кусочки, каждый из которых будет напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие — это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства.

Главным «действующим лицом» гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, «по частям» достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушарий по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора.

На трехмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: «Если фундамен-

-52-

тальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере». Непонятное словосочетание «гомеоморфно сфере» в переводе на неформальный язык означает, что поверхность может быть преобразована в сферу.

Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которая не делит ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязная: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязная — ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязная, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку, но поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).