Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Френкель вырос в годы брежневского застоя в промышленной Коломне примерно в 100 километрах от Москвы. «В школе я ненавидел математику, – пишет он. – Меня восхищала физика, особенно квантовая физика». Подростком он поглощал научно-популярные книги по физике с их соблазнительными рассказами о субатомных частицах – адронах и кварках. Френкелю не давал покоя вопрос, почему фундаментальные частицы так головокружительно разнообразны, почему они распадаются на семейства определенных размеров. Ясность наступила лишь тогда, когда его родители, оба инженеры, устроили ему встречу со своим старым другом-математиком[9]. Математик объяснил ему, что порядок и логику в строительный материал вещества вносит так называемая «группа симметрий» – математический зверь, с которым Френкель в школе не сталкивался. «Это был момент прозрения, – вспоминает он. – Книги Евгения Евгеньевича открыли передо мной абсолютно другой мир, о существовании которого я даже не подозревал».

С точки зрения математика группа – это набор действий или операций, которые правильным образом сочетаются друг с другом. Что такое «правильным образом», объясняют четыре аксиомы теории групп, определяющие алгебраическую структуру группы. Например, одна из аксиом гласит, что для любого действия в группе существует другое действие в группе, которое его отменяет.

Важная разновидность групп – это группа симметрий. Именно с такими группами и столкнулся Френкель. Представьте себе, что у вас посередине комнаты стоит квадратный карточный стол. Интуитивно понятно, что этот предмет мебели в чем-то симметричен. Как сделать это утверждение более точным? Если повернуть стол относительно центра ровно на 90 градусов, его внешний вид никак не изменится, и если кто-то вышел из комнаты и не видел, как стол поворачивают, то, вернувшись, не заметит никакой разницы (если на поверхности стола не было никаких пятен и царапин). То же самое верно, и если повернуть стол на 180, 270 и 360 градусов, причем в последнем случае стол опишет полный круг, а это эквивалентно тому, что его вообще не поворачивали.

Эти действия составляют группу симметрий карточного стола. Поскольку их всего четыре, группа конечна. Если бы стол был круглым, его группа симметрий была бы бесконечной, поскольку любой поворот – на 1 градус, на 45, на 132,32578 и т. д. – никак не повлиял бы на его внешний вид. Таким образом, группы – это способ измерить симметрию объекта: круглый стол с бесконечной группой симметрий симметричнее квадратного стола, чья группа симметрий состоит всего из четырех действий.

Однако (к счастью) дальше становится интереснее. Группы описывают симметрии, которые выходят за пределы простой геометрии, например, симметрии, скрытые в формуле или в семействе субатомных частиц. Подлинное могущество теории групп было впервые продемонстрировано в 1832 году, в письме к другу, которое наспех нацарапал двадцатилетний парижский студент и политический активист Эварист Галуа поздней ночью накануне гибели на дуэли (за честь женщины – и, весьма вероятно, от руки провокатора на службе правительства).

Эваристу Галуа открылся подлинно прекрасный способ обобщить понятие симметрии на мир чисел. Его théorie des groupes позволила решить классическую алгебраическую задачу, которая столетиями не давала покоя математикам, причем решение оказалось совершенно неожиданным. («Галуа не решал проблему… в том смысле, как об этом было принято думать. Он хакнул ее!», – пишет Френкель). Значение открытия Галуа выходит далеко за рамки задачи, которая стала его катализатором. Группы Галуа вездесущи в математической литературе, а сама идея группы зарекомендовала себя как, пожалуй, самое универсальное понятие в математике, проливающее свет на самые разные загадки. «Сомневаетесь – ищите группу!» – советовал великий Андре Вейль. Такое вот cherchez la femme в математике.