Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Однако Вейль, авторитетная фигура в математике XX века (он умер в 1998 году в 92 года), оказался благодарным слушателем. В письме к сестре Симоне, написанном в 1940 году, он живо описал всю важность аналогий в математике. Ссылаясь на «Бхагавадгиту» (Вейль был еще и специалистом по санскриту), Андре рассказал Симоне, что подобно тому, как индийский бог Вишну обладал десятью разными обличьями, простое на первый взгляд математическое равенство может выражаться в самых разнообразных абстрактных структурах. А тонкие аналогии между такими структурами он уподобил «внебрачным связям»: «мало что доставляет специалисту больше наслаждения». Между прочим, писал он из французской тюрьмы, где отбывал срок за дезертирство (после того как в Финляндии его чуть не казнили как шпиона).

Программа Ленглендса – это система предположений, которые призваны превратить подобные гипотетические аналогии в прочные логические мосты, связывающие разные математические острова в море невежества. А можно считать ее Розеттским камнем, с помощью которого представители математических племен, обитающих на этих островах – специалисты по теории чисел, алгебраической геометрии и топологии – обретут общий язык и объединят свои понятийные ресурсы.

Гипотезы Ленглендса пока по большей части не доказаны (исключение – гипотеза Таниямы – Симуры, которую сформулировали в 1950-е годы два японских математика, а в 1990-е доказал англичанин Эндрю Уайлс, с ее помощью установивший истинность Великой теоремы Ферма). Так верны ли они, эти загадочные конъектуры? Среди математиков царит подлинно платоническая убежденность, что иначе быть не может. Как заметил Иэн Стюарт, программа Ленглендса – «математика той разновидности, что она должна быть истинной просто потому, что она такая красивая». Она способна обеспечить единство высшей математики, благодаря которому настанет новый золотой век, когда мы, по выражению Френкеля, наконец поймем, что такое математика.

Поскольку ученой степени у Френкеля не было, его пришлось на время «отстранить» от обязанностей гарвардского профессора и «понизить» до аспиранта, чтобы он написал диссертацию – что он и сделал всего за год. (Когда Френкель в 1991 году выпускался из Гарварда, его лично поздравил Эдуард Шеварднадзе, один из архитекторов перестройки, который тогда же получил степень почетного доктора.) Темой диссертации Френкеля стало доказательство теоремы, которая помогла открыть новую главу в программе Ленглендса, расширив ее из царства чисел в геометрическое царство криволинейных поверхностей вроде поверхности бублика или шара. (Это так называемые римановы поверхности – в честь математика XIX века Бернхарда Римана.)

Для реализации программы Ленглендса потребовалось вывернуть наизнанку и перевернуть с ног на голову многие знакомые математические понятия, даже такие фундаментальные, как натуральные числа. Возьмем, к примеру, число 3. Оно скучное, у него нет никакой внутренней структуры. А теперь предположим, что вместо числа 3 мы взяли «векторное пространство» трех измерений, то есть пространство, где каждая точка задается тройкой чисел, со своими собственными правилами сложения и умножения. Тут уже можно получить что-то интересное – структуру, в которой симметрий будет больше, чем в греческом храме. «Современная математика – это сотворение нового мира, в котором числа оживают в образе векторных пространств», – пишет Френкель.

Богаче стали и другие основные понятия. «Функции», с которыми вы, скорее всего, сталкивались на уроках математики в старших классах – помните y=f(x)? – превратились в экзотические сущности под названием «пучки». (За реформу языка математики в ответе по большей части Александр Гротендик, которого принято считать величайшим математиком второй половины XX века.)

Следующим ходом был вывод программы Ленглендса за пределы математики как таковой. В семидесятые годы было замечено, что одна из главных ее составляющих, двойственная группа Ленглендса, неожиданно возникает и в квантовой физике. Это всех удивило. Неужели те же закономерности, которые смутно просматриваются в мирах чисел и геометрии, имеют параллели в теории, описывающей фундаментальные силы природы? Френкеля потрясла сама возможность провести связь между квантовой механикой и программой Ленглендса, и он с жаром принялся исследовать эту задачу, чему способствовал многомиллионный грант, который он с коллегами получил в 2004 году от Министерства обороны – на сегодня это самый крупный грант на исследования по чистой математике. (Чистая математика не просто изящна и аккуратна, но еще и дешева: математику нужен мел и немного денег на дорожные расходы. А еще она открыта и прозрачна, поскольку в ней нет изобретений, которые можно патентовать.)