Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

А теперь применим формулу Эйлера к карте. Тогда F – это число областей, E – число границ, а V – число точек пересечения этих границ. Теперь можно вывести результат, без которого невозможно подойти к проблеме раскрашивания: на каждой карте должна быть по крайней мере одна область, у которой не больше пяти непосредственных соседок. Доказать это достаточно просто. Если бы существовала карта, на которой у каждой области было бы по меньшей мере шесть соседок, то, сосчитав области, границы и точки пересечения и подставив их в формулу Эйлера, мы получили бы экстраординарный результат 0=2. Противоречие! Значит, на каждой карте обязательно найдется область, граничащая не более чем с пятью другими.

Теперь, когда у нас есть этот результат, доказать гипотезу шести красок – дело одной минуты. Предположим, существуют криминальные карты, требующие больше шести цветов. Возьмем минимальную криминальную карту. Проделаем старый добрый фокус со сжатием, раскрашиванием и восстановлением. Поскольку предполагаемая минимальная криминальная карта, как и все карты, должна содержать по крайней мере одну область, у которой не больше пяти соседок, выберем эту область и сожмем ее в точку. Раскрасим редуцированную карту, которая должна быть законопослушной, шестью красками. Теперь восстановим сжатую область. Поскольку у нее пять и меньше соседок, поэтому мы ее и выбрали, для нее должен остаться незадействованным один из шести доступных цветов. Это противоречит предположению, что эта карта – минимальная криминальная, поэтому гипотеза шести красок становится настоящей теоремой.

Логике, которая стоит за всем этим, недостает прямизны. Но если сделать надлежащее усилие, можно удержать ее в голове и «увидеть», почему теорема четырех красок верна. Доказательство это неожиданно и убедительно одновременно – можно сказать, оно даже остроумно. Увы, с эстетической точки зрения оно ничем не лучше самой проблемы. Метод, которым Кемп в 1879 году попытался свести шестицветный минимум к желаемым четырем цветам, был зубодробительно сложным. Но он не опирался на подлинно глубокие математические идеи. И к тому же содержал ошибку. Тем не менее Хивуд, обнаружив эту ошибку, сумел спасти достаточную часть логических рассуждений, чтобы показать, что любую карту можно раскрасить не более чем пятью красками.

В число заинтересовавшихся проблемой четырех красок входил и Фредерик Темпл, епископ Лондонский, а в дальнейшем архиепископ Кентерберийский, который тоже опубликовал ошибочное доказательство, и французский поэт Поль Валери, оставивший десяток страниц основательных рассуждений об этой проблеме в своем дневнике за 1902 год. Некоторым исследователям казалось, что от этого досадного вопроса удастся избавиться, как только к нему приложит руку какой-нибудь по-настоящему первоклассный математик. Предложить доказательство попытался на своей лекции в Гёттингенском университете великий Герман Минковский, однако, потратив на него несколько недель занятий, он объявил студентам: «Моя дерзость прогневила небеса, мое доказательство тоже ошибочно». Другие известные математики предпочли этой проблемой не заниматься – возможно, это было мудрое решение. Ведь она лежит в стороне от математического мейнстрима. Насколько было известно ученым, от ее истинности или ложности не зависело ничего важного. Когда в 1900 году на международной конференции в Париже Давид Гильберт, вероятно, самый выдающийся математик своего времени, сформулировал 23 важнейшие математические задачи, гипотезы четырех красок среди них не было.

И все же известность и неподатливость этой гипотезы делали ее непреодолимо соблазнительной для математиков по обе стороны Атлантики (причем некоторые потом жалели, что потратили на нее время). Атаковали они ее в целом с той же стороны, что и Кемп: стратегия состояла в том, чтобы найти все лазейки, оставляющие простор для контрпримеров гипотезы четырех красок, а затем закрыть эти лазейки. Но для этого количество лазеек должно было быть конечным, а иначе их нельзя было бы учесть все до единой и показать, что их можно закрыть. На протяжении XX века одни математики находили изобретательные способы исчерпывающим образом описать все множество лазеек, а другие находили не менее изобретательные способы их закрыть. Проблема состояла в том, что множества лазеек («неизбежные множества») были до нелепого огромными, число входящих в них конфигураций на картах доходило до десяти тысяч. А закрыть каждую лазейку, то есть показать, что рассматриваемая конфигурация редуцируема, зачастую было делом неподъемно трудоемким – настолько, что живому математику оно оказывалось не по силам. Однако к шестидесятым годам несколько ученых, работавших над этой задачей, заподозрили, что процесс проверки лазеек можно существенно упростить, если описать его механическим алгоритмом. Это заставило рассмотреть интересный вариант: возможно, доказать гипотезу четырех красок удастся с помощью компьютера.