Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

При всей своей математической и философской занятности проблема четырех красок не имела очевидного практического применения, по крайней мере, для картографов, которые не проявляют склонности минимизировать количество используемых цветов. Однако, чтобы подойти к задаче, полезно взглянуть на атлас. Обратимся к карте Европы – к той ее части, где расположены Бельгия, Франция, Германия и Люксембург. Каждая из этих стран граничит с остальными тремя, поэтому очевидно, что для того, чтобы они не сливались, потребуется не меньше четырех красок. Вероятно, читатель сочтет, что четыре цвета нужны только тогда, когда на карте есть подобный квартет соседствующих друг с другом областей. Если вы так думаете, обратитесь к карте США и посмотрите на штат Невада, окаймленный пятью другими штатами (Калифорния, Орегон, Айдахо, Юта и Аризона). Ни одна комбинация штатов не соседствует друг с другом так, как Бельгия, Франция, Германия и Люксембург. Однако это скопление в целом невозможно раскрасить меньше чем четырьмя цветами так, чтобы никакая пара штатов не сливалась, в чем легко убедиться самостоятельно. С другой стороны, Вайоминг и шесть окружающих его штатов вполне можно раскрасить всего тремя цветами – какой удар для интуиции!

Некоторым картам нужно четыре краски, и этого достаточно. Проблема четырех красок гласит, что невозможно составить карту, которой было бы нужно больше четырех цветов. Что значит «доказать» такую гипотезу? Варианта два. Предположим, как считают некоторые математики, что она ложна. Тогда достаточно нарисовать всего одну карту, для раскрашивания которой нужно пять и более цветов, и вопрос закрыт. (В апреле 1975 года Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American сложнейшую карту из 110 регионов, которую, по его словам, невозможно было раскрасить меньше чем пятью цветами. Сотни читателей прислали в редакцию копии карты, старательно раскрашенные всего в четыре цвета: должно быть, они не сообразили, что Гарднер решил порадовать себя маленькой первоапрельской шуткой.) А чтобы доказать, что гипотеза четырех цветов верна, придется показать, что любая мыслимая карта – а их бесконечно много – может быть раскрашена всего четырьмя красками, какими бы многочисленными, сложнозакрученными и перепутанными ни были обозначенные на ней области.

Поэтому простота проблемы четырех красок обманчива. А чтобы осознать, насколько обманчива, стоит взглянуть на долгую историю попыток ее доказать или опровергнуть – настоящую комедию ошибок. Судя по всему, Фрэнсис Гатри, который в 1852 году заподозрил, что хватит и четырех красок, считал, что доказал свою гипотезу. Впоследствии Гатри стал профессором математики в Южной Африке, однако за всю свою жизнь не опубликовал ни одной работы, касающейся проблемы четырех красок: очевидно, его больше интересовала ботаника (в его честь назван вид вереска). Однако он обсуждал проблему со своим младшим братом Фредериком, который привлек к ней внимание своего профессора математики Огастеса де Моргана. Де Морган был очень способным математиком и важной фигурой в истории логики. Проблема четырех красок заинтересовала его, и он очень увлекся мыслью, что если карта содержит четыре взаимно граничащие области, одна из них должна быть полностью окружена остальными тремя (если вернуться к вышеприведенному примеру, то Люксембург полностью окружен Бельгией, Францией и Германией). Де Морган полагал – ошибочно, – что эта «скрытая аксиома» необходима для доказательства гипотезы, над которым он ломал голову до самой своей смерти – он скончался в 1871 году.

Именно де Морган впервые упомянул о гипотезе четырех красок в печати, причем не где-нибудь, а в анонимной философской заметке, которую он послал в 1860 году в популярный литературный журнал Athenaeum. Слухи о заметке пересекли Атлантику и дошли до США, где под колдовское обаяние гипотезы подпал философ Чарльз Пирс. Пирс заявил, что «со стороны логики и математики непростительное упущение, что такое простое утверждение до сих пор не доказано», и в конце 1860-х годов предложил собственное гипотетическое доказательство гарвардскому математическому обществу. Никаких сведений о нем не сохранилось. Однако впоследствии Пирс был вынужден признать верность доказательства, которое предоставил другой ученый, и поспособствовать его публикации в Nation в Рождество 1879 года. Тем самым Пирс невольно подтвердил истинность доказательства, которому предстояло стать самым знаменитым примером пагубного заблуждения в истории математики.