Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Следует отметить, что математики приветствовали компьютерную эру без особого восторга. По традиции, еще со времен Пифагора, они уповали на то, что для познания новых истин нужно просто как следует подумать. Принято было говорить, что математический факультет стоит на втором месте по дешевизне в любом университете, поскольку для его работы нужны только бумага, карандаши и мусорные корзины (дешевле только философский: там обходятся без корзин). Уже в 1986 году один стэнфордский математик хвастался, что на его кафедре меньше всего компьютеров – даже меньше, чем на кафедре французской литературы.

Так или иначе, проблема четырех красок поначалу казалась непосильной даже для компьютера. Получалось, что самая быстрая из существующих машин будет перебирать все случаи больше ста лет. Однако в начале семидесятых Вольфганг Хакен, математик из Университета штата Иллинойс, усовершенствовал методологию и совместно с талантливым программистом Кеннетом Аппелем наладил с компьютером своеобразный диалог, целью которого было сократить количество лазеек и закрывать их производительнее. Впоследствии Хакен сказал о своем компьютере: «Он вырабатывал сложные тактики на основании всех трюков, которым его “научили”, и его методы зачастую были куда хитрее тех, которые пробовали мы». Аппель и Хакен не знали, что параллельно по всему земному шару – и в Онтарио, и в Родезии, и в Гарварде – другие исследователи приближаются к решению задачи при помощи похожих методов. А по крайней мере один математик не оставил попыток создать сложную карту, требующую пяти цветов. В июне 1976 года, после четырех лет упорных трудов, для которых потребовалось 12 тысяч часов компьютерного времени и неоценимая помощь одного профессора литературы из Монпелье, Аппель и Хакен получили свой результат: четырех цветов и правда хватит. Не прошло и месяца, как об этом рассказала лондонская Times (более осторожная New York Times выждала две недели, прежде чем признавать, что задача решена, и редакционную колонку для нее написал выдающийся математик из Колумбийского университета Липман Берс). Гипотеза четырех красок превратилась в теорему четырех красок.

Или все-таки нет? Как бы ни отнесся к этой новости большой мир, многие математики морщили нос, узнав некоторые подробности. «Признание, что компьютерные шуточки Аппеля и Хакена – это тоже математика, оставляет у нас ощущение интеллектуальной неудовлетворенности», – заметил один из них. Для недовольства выделялись три группы причин. Первая – эстетическая. Доказательство было некрасивым, прямолинейным, как бульдозер; перечисление случаев не таило никакого очарования и прелести для интеллекта. Как заметил когда-то Г. Г. Харди, «в мире нет места безобразной математике».

Вторая группа причин имела отношение к применимости. Хорошее доказательство должно содержать новые доводы и выявлять скрытые структуры, которые можно применить в других областях математики. А доказательство Хакена и Аппеля в этом отношении казалось совершенно бесплодным. К тому же оно ничего не говорило о том, почему, собственно, теорема четырех красок верна. Хакен и Аппель просто выдали ответ на вопрос, похожий на «чудовищное совпадение», как выразился один математик.

Третья и главная группа причин относилась к эпистемологии. Действительно ли достижение Хакена и Аппеля позволяет нам с полным правом утверждать, что теперь мы знаем, что гипотеза четырех красок верна? Доказательство ли это? В идеале доказательство – это рассуждение, которое можно перевести на формальный язык и проверить законами логики. На практике математики никогда не затрудняются подобными формальными доказательствами, которые могут быть крайне неуклюжими. Они предпочитают делать свои доводы разумно строгими, проговаривая достаточно шагов, чтобы убедить специалистов в своей области. Чтобы довод был убедительным, он должен быть «исследуемым», то есть нужно, чтобы человеческий разум мог осознать и проверить его. А доказательство Хакена и Аппеля явно к таким не относилось.