Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

В сущности, странно, что конечные существа вроде нас умудрились что-то узнать о бесконечности, если учесть, что мы не способны непосредственно воспринимать ее. Декарт полагал, что представление о бесконечности у нас врожденное, однако поведение детей это опровергает: в ходе одного исследования младшие школьники «рассказывали, что “считают и считают” в попытке добраться до последнего числа и после долгих усилий приходят к выводу, что его не существует». Так ли иначе, человек, который приложил больше всех стараний, чтобы облечь бесконечность в теорию, утверждал, что озарения дарованы ему Богом, и окончил свои дни в сумасшедшем доме.

Вообще говоря, есть две версии бесконечности. Относительно путаная и мистическая, которую можно назвать метафизической бесконечностью, ассоциируется с идеями вроде совершенства, абсолюта, Бога. Относительно строгая математическая бесконечность – это как раз та бесконечность, о которой решил рассказать Уоллес. Она коренится в идее отсутствия предела: время, которое течет вечно, пространство, которое можно подразделять безо всяких ограничений, числа, которые можно генерировать сколько угодно. Метафизическая бесконечность имеет тенденцию пробуждать в тех, кто над ней размышляет, благоговейный восторг, а математическая на протяжении большей части западной интеллектуальной истории служит объектом крайних подозрений и даже презрения. Впервые она появилась в V веке до н. э. в парадоксах Зенона Элейского. Зенон утверждал, что если пространство можно делить бесконечно, то быстроногий Ахиллес никогда не обгонит черепаху: за то время, пока он окажется там, где была черепаха, та уползет немного дальше – и так до бесконечности, ad infinitum. Такие парадоксы были настолько травмоопасными, что Аристотель решил изгнать идею «полной» бесконечности из греческой мысли – и задал направление всей философии на ближайшие 2000 лет.

Последовавшая реабилитация бесконечности опирается на другой парадокс, сформулированный в 1638 году Галилеем. Рассмотрим все целые числа: 1, 2, 3, 4 и так далее, – предлагает Галилей. Теперь рассмотрим только квадраты: 1, 4, 9, 16 и так далее. Целых чисел, конечно, больше, чем квадратов, поскольку квадраты – лишь часть целых чисел, причем малая. Однако, замечает Галилей, есть способ сопоставить квадраты с целыми числами: 1 с 1, 2 с 4, 3 с 9, 4 с 16 и так далее. Когда таким образом создают два соотносящихся конечных множества – каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества и наоборот, – чтобы понять, что они одинакового размера, не обязательно проделывать утомительные подсчеты. Однако, распространив этот принцип на бесконечные множества, Галилей обнаружил, что тяготеет к выводу, что квадратов столько же, сколько целых чисел, и точка. То есть часть равна целому – мысль, которая самому Галилею показалась нелепой.

Два с половиной века спустя Георг Кантор положил парадокс Галилея в основу математической теории бесконечности. Кантор (1845–1918) – немецкий математик, родившийся в России и отличавшийся художественными наклонностями и обостренным интересом к богословию. Он понял, что крах привычной логики части и целого дает новое определение бесконечности, которое не опирается на смутное представление о чем-то беспредельном. Бесконечное множество, как описывал его Кантор, это множество того же размера, что и некоторые его части. Иначе говоря, бесконечное множество – это множество, которое может потерять некоторые элементы, но от этого не уменьшается.

Теперь у Кантора появилась возможность задать новаторский вопрос: все ли бесконечности равны или некоторые равнее других?

Кантор стал искать бесконечность больше, чем целые числа, и начал с рассмотрения множества дробей. Казалось бы, это был верный кандидат, поскольку дроби организованы на числовой прямой очень плотно: между каждыми двумя целыми числами бесконечно много дробей (например, между 0 и 1 лежат /², ¹¹/³, ¹/⁴, ¹/⁵ и так далее). Однако Кантор, к своему удивлению, быстро нашел простой способ однозначно сопоставить целые числа и дроби. Несмотря на первоначальное впечатление, эти две бесконечности оказались одинаковыми. Возможно, подумал ученый, все бесконечные множества одинаковой величины просто потому, что они неисчерпаемы. Но затем он рассмотрел множество вещественных чисел, тех самых, которые отмечают точки на непрерывной прямой. Удастся ли и их однозначно сопоставить с целыми числами? Кантор разработал непревзойденно хитроумное доказательство, так называемый диагональный способ, и доказал, что ответ отрицательный. Иначе говоря, есть по крайней мере две разные бесконечности, бесконечность целых чисел и бесконечность континуума, и вторая больше первой.