Иллюзия пользователя. Урезание сознания в размерах

В 1910-13 годах британский философ и математик Бертран Рассел и математик А.Н. Вайтхед опубликовали работу «Principia mathematica», которая была призвана вывести все математические теории из законов логики. Готовя эту работу, Рассел обнаружил то, что сегодня известно как «парадокс Рассела», который во всех отношениях испортил их общий проект. Выяснилось, что математике свойственны неотъемлемые противоречия: парадоксы появляются в системах, которые во всем остальном являются вполне логичными. Проблемы начались тогда, когда математические величины начали соотноситься сами с собой. Но Рассел считал, что с этой проблемой можно справиться. И очевидно, было найдено красивое техническое решение.

Статья Геделя, написанная в январе 1931 года, носила название «О формально неразрешимых утверждениях в «Principia mathematica» и сходных системах». Другими словами, свое осознание Гедель напрямую связывает с работами Рассела и Вайтхеда.

Бертран Рассел был человеком широких интеллектуальных способностей. Он стал одним из доминирующих философов 20 века, занимаясь почти всеми философскими дисциплинами (и в течение своей жизни принимая очень различные философские позиции). Когда он, как ему казалось, решил все фундаментальные задачи в «Principia mathematica», он оставил математическую логику.

В 1963 году он писал: «Прошло уже 50 лет с тех пор, как я серьезно работал над математической логикой, — и практически единственная работа, которую я с тех пор прочел — это работа Геделя. Я, конечно, понял, что работа Геделя имеет фундаментальное значение — но она меня озадачила. Она заставила меня порадоваться тому, что я больше не занимаюсь математической логикой».

Тем не менее именно благодаря работе Геделя тема столетия действительно начала разворачиваться.

«Я лгу». Это утверждение, парадокс лжеца, преследовало европейскую мысль на протяжении тысяч лет. Если оно истинно, то оно ошибочно — и наоборот. Лжец, который говорит, что он лжет, должен говорить правду: если он лжет, то, когда он говорит, что лжет, на самом деле не лжет.

Существует множество более техничных версии этого парадокса, но смысл у них один: при соотнесении с самим собой возникают сложности. Это касается случаев, когда человек утверждает, что он лжет, а также случаев, когда человек говорит очень кратко. Такие парадоксы отвратительны. Один из них известен как «антиномия Ричарда» и касается он теории множеств.

Гедель уничтожил надежду математической логики изучить утверждения, напоминающие подобные парадоксы — или антиномии, как их предпочитают называть философы. Одно из очень немногих нематематических предложений в его работе 1931 года гласит: «Аналогия этого аргумента с антиномией Ричарда бросается в глаза. Он также тесно связан и с «Лжецом».

Оригинальная идея Геделя заключалась в том, чтобы принять утверждение «Я не могу быть доказан». Если это верно, мы не можем это доказать. Если это неверно, то мы можем это доказать — то есть мы доказали правильность чего-то, что не является правильным. Утверждение может быть верным тогда и только тогда, когда оно не может быть доказано.

Для математической логики это было не очень хорошо — но не потому, что это было парадоксом, противоречием. Проблема скорее заключалась в том, что утверждение «Я не доказуем» верно. Оно значит, что существует истина, которую мы не можем доказать. Существуют истины, к которым мы не можем прийти путем математических или логических доказательств.

Это неформальная версия доказательства Геделя — даже учитывая, конечно, что изначально оно было выражено в значительно менее строгой версии и менее формальных терминах. Гедель показал, что утверждения могут быть закодированы в виде чисел. Следовательно, он перевел проблему с утверждениями, которые опираются сами на себя, в числа, которые «опираются сами на себя».

Это простая, но очень глубокая идея. И она ведет к пониманию того, что логическая система никогда не сможет доказать свою последовательность. Истина или правильность логической структуры или языка никогда не может быть доказана изнутри. Вам нужно находиться вне системы и сказать: «Она последовательна. Она цельная». Последовательность и свобода от противоречий никогда не могут быть доказаны изнутри системы.

Математик Эндрю Ходжес выразил это так: «Особое утверждение Геделя заключалось в том, что так как это невозможно доказать, то в определенном смысле это правда. Но чтобы сказать, что это «правда», необходим наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Это невозможно показать, работая внутри аксиоматической системы».

Логика не может обойтись без человека.

«Люди часто воспринимают теорему Геделя как нечто негативное», — писал британский математик Роджер Пенроуз в 1988 году. Осознание Геделя обычно воспринимается как знак всего, чего не может сделать человек. Или, как об этом пишет датская философская литература, она воспринимается как аксиома бессилия. И на самом деле, доказательство Геделя является также и доказательством бессилия. Но не бессилия человека — а бессилия логики.