Инновации на финансовых рынках

В еще одной модели, развивающей конструкцию САРМ, – модели Харлоу и Pao [Harlow, Rao, 1989] – также используется односторонний бета-коэффициент (HR-beta), который вычисляется по формуле:

где R_i – доходность актива i; R_M – доходность рыночного портфеля, μ_i, – средняя доходность актива i, μ_M, – средняя доходность рыночного портфеля.

По сравнению с моделью Бава – Линденберга (1977) в модели Харлоу – Рао (1989) отклонение доходности актива и портфеля рассчитывается по отношению к соответствующим средним значениям (актива и рынка (индекса)).

Хавьер Эстрада [Estrada, 2002; 2007] предложил еще один вариант расчета бета-коэффициента для конструкции САРМ в рамках одностороннего риска, который позволил преодолеть ряд пробелов в ранее упомянутых моделях. X. Эстрада показал, что односторонняя ковариация, предложенная Хоганом и Варреном, Бава и Линденбергом, а также Харлоу и Рао, имеет ряд ограничений. Односторонняя ковариация между доходностью актива i и рыночного портфеля М количественно отличается от односторонней ковариации между доходностью рыночного портфеля М ж актива i.

В модели X. Эстрада односторонняя ковариация рассчитывается следующим образом:

Σ_iM=Е’{min[(R_i – μ_i),0]min[(R_M – μ_M),0]}.

Односторонний коэффициент корреляции актива i и рыночного портфеля (Θ_iM) определяется по формуле:

Соответственно односторонний бета-коэффициент (E-beta) рассчитывается по формуле:

Модель D-CAPM расчета ожидаемой (и требуемой) доходности актива i Эстрады выглядит следующим образом:

E(R_i) = R_f + MRPβ_i^D,

где MRP – рыночная премия за риск; R_f — безрисковая ставка доходности.

Оценку одностороннего бета-коэффициента для актива i (Эстрада в качестве актива для тестирования объясняющей способности модели рассматривал страновые фондовые индексы) можно получить в рамках регрессионного построения. При этом необходимо оценить коэффициенты регрессии без свободного члена, вида:

y_t=λ₁x_t +ε_t ,

где у_t = min[(R_it – μ_i),0] и х_t = min[(R_Mi– μ_M,).0].

При этом μ_i и μ_M соответственно, средние арифметические для рядов у и х.

Заметим, что согласно модели Х. Эстрады (β^D_i) актив i увеличивает риск портфеля только тогда, когда доходность актива и рыночная доходность меньше, чем их соответствующие средние значения, т. е. R_i <μ_i и R_M <μ_M. Согласно модели Харлоу – Рао (β_i^HR) риск портфеля меняется, когда доходность актива больше, чем среднее значение доходности по этому активу, а рыночная доходность меньше, чем ее среднее значение, т. е. R_i >μ_i и R_M <μ_M. В модели Хогана – Варрена (β_i^HW) риск портфеля меняется, когда доходность актива превышает безрисковую ставку, а рыночная доходность меньше безрисковой ставки (R_i > r_f и R_M < r _f), т. е. сравнение происходит не со средними уровнями доходности, а с безрисковой ставкой на рынке.

При расчете β_i^HW и β_i^HR учитываются только левосторонние отклонения от рыночной доходности, в то время как в модели Эстрады при расчете β_i^D учитывается левостороннее отклонение доходности и по рынку, и по активу. Конструкции, предложенные как Эстрадой, так и Харлоу и Рао, основываются на бенчмарке (целевом уровне), равном среднему значению распределения доходностей, в то время как подход Хогана – Варрена предполагает целевой уровень, равный безрисковой ставке.

Различия в получаемых оценках по перечисленным выше моделям покажем на примере двух российских публичных компаний с высоколиквидными акциями[40] (табл. 9.9 и 9.10). Для расчета систематического риска инвестирования выбраны акции, которые на рассматриваемом временном отрезке характеризовались одинаковой средней доходностью и стандартным отклонением, но при этом различались по коэффициентам одностороннего риска Хогана – Варрена, Харлоу – Рао, Эстрада.

Таблица 9.9

Динамика цен акций и месячная доходность акций Газпрома (биржевой тиккер – GAZP Equity)

Таблица 9.10

Динамика цен акций и месячная доходность акций МТС (биржевой тиккер – MTSI Equity)

Справочно: Месячная доходность рассчитывается по формуле:

Таким образом, получаем следующее распределение месячных доходностей (%): Газпром (—6,06; —6,65; 9,05; —2,56; 0,78) и МТС (-12,53; 1,58; 1,58; 3,51; 0,61).

Расчет математического ожидания доходности по акциям этих компаний показывает, что оно равно: Газпром – 1,1 % [((-6,06 %) + (-6,65 %) + 9,05 % +(– 2,56 %)+ 0,78 %)/5] и МТС -1,1 % [((-12,53 %)+ 1,58 %+ 1,58 % + 3,51 % +0,61 %)/5)]. Компании показали одинаковую среднюю доходность за полгода.

Среднемесячное значение стандартного отклонения для обеих акций практически совпало, для Газпрома – 5,7 % и для МТС-5,8 %.

Расчет бета-коэффициента по акциям двух компаний представлен в табл. 9.12.

Ковариация (cov) доходности рыночного портфеля с доходностью акций компаний рассчитывается по формуле:

и равна для Газпрома и МТС соответственно: