Инновации на финансовых рынках

9.3. Односторонние меры риска в объяснении различий доходности по акциям

Одним из направлений развития конструкции САРМ стали модели, включающие вместо традиционного бета-коэффициента односторонние меры систематического риска (expected return – semivariance capital asset pricing model). Первые модификации шли по пути замены традиционного бета, как отношения двусторонней ковариации доходности актива (портфеля) и рынка к дисперсии доходности рынка, на односторонний бета-коэффициент. Следующий шаг – замена рыночного систематического риска на систематическую асимметрию и систематический эксцесс, тестирование как однофакторных, так и многофакторных моделей, учитывающих несколько аспектов диагностирования риска.

В работе В. Хогана и Дж. Варрена [Hogan, Warren, 1974] односторонняя ковариация (cosemivariance – CSV) между рыночной доходностью (R_M) и доходностью актива (R_i) представляет собой копию ковариации в рамках традиционного подхода, но учитывает односторонние отклонения:

CSV_Rr(R_M,R_i)=E:{(R_i-R_F)min[(R_M – R_F), 0]}.

Путем деления односторонней ковариации на полувариацию рыночного портфеля авторы предложили следующую меру одностороннего риска (бета-коэффициент Хогана – Варрена, далее обозначение – HW-beta):

В данном представлении одностороннего риска следует отметить три момента. Во-первых, при расчете риска фиксируются не все отклонения вверх и вниз, а только левосторонние – вниз. Во-вторых, используется левостороннее отклонение только по рыночной доходности min(R_M-R_f,0)), а не по доходности актива i, и осуществляется нормирование не с помощью дисперсии рыночного портфеля, а через левостороннюю дисперсию рыночной доходности (доходности рыночного портфеля). Заметим, что по доходности актива учитываются как правосторонние, так и левосторонние отклонения. В-третьих, в формуле HW-beta присутствует безрисковая ставка процента (R_f) как бенчмарк для фиксации ситуации потерь (одностороннего риска). Таким образом, безрисковая доходность на рынке играет роль целевого уровня доходности инвестирования в модели HW.

Заменяя традиционный бета-коэффициент на односторонний аналог, авторы доказывают корректность применения ES-САРМ (модели ценообразования финансовых активов, основанной на подходе «ожидаемая доходность – односторонняя вариация», expected return – semivariance capital asset pricing model). Ожидаемая доходность в рамках ES-CAPM записывается следующим образом:

где E(R_i) – требуемая (и ожидаемая) доходность на актив i; R_F – безрисковая ставка процента; E(R_M) – ожидаемая рыночная доходность; SV (R_M) – односторонняя вариация рыночного портфеля; CSV (R_M,R_i) – односторонyzz ковариация между доходностью актива i и рыночным портфелем с принятым бенчмарком на уровне безрисковой ставки. Премия за риск инвестирования в актив находится в линейной зависимости от систематического риска этого актива, но в данном случае измеряемого не традиционным бета-коэффициентом, а односторонним бета-коэффициентом.

Опираясь на модель частичных моментов низших порядков (Lower Partial Moment – LPM), предложенную в 1975 г. В. Бава [Bawa, 1975], в работе В. Бава и Э. Линденберга [Bawa, Lindenberg, 1977] получила развитие еще одна равновесная модель формирования доходности активов с введением односторонней меры риска: «среднее – частичные моменты низшего порядка» (Mean-Lower Partial Moment Model – MLPM). Односторонний бета-коэффициент (BL-beta) в этой конструкции рассчитывается следующим образом:

где CLPM_n(R_F; М, j) определяется как систематическая мера риска (co-LPM) порядка п между активом j и рыночным портфелем (М):

В целом LPM_n(R_F;M) (моменты низших порядков) представляет собой меру оценки одностороннего риска – одностороннюю дисперсию, только с учетом определенного вида функции полезности (n-степенной) и записывается следующим образом:

LPM₀ нулевого порядка соответствует всем функциям полезности инвесторов, которые предпочитают линейный рост доходности (u' > 0). LPM₁ 1-го порядка включает все функции полезности, характерные для инвесторов – противников риска (u' > 0 и u" < 0). LPM₂ (2-го порядка) характеризует инвесторов, не только не склонных к риску, но и обладающих смещенными предпочтениями (u' > 0, u" < 0 и u'" > 0). Отметим, что, фиксируя n на 2-м уровне (т. е. выбирая общеупотребимую в теории финансов функцию полезности инвесторов), модель MLPM [Bawa, Lindenberg, 1977] преобразуется до модели ES-CAPM [Hogan, Warren, 1974]. Для расчета одностороннего бета-коэффициента Бава и Линденберг [Bawa, Lindenberg, 1977] в качестве целевой нормы доходности (бенчмарка), как и в работе [Hogan, Warren, 1974], используют безрисковую ставку процента.