Искатели необычайных автографов

— Два в степени девятнадцать тысяч девятьсот тридцать семь минус единица. Это сокращенно! А чтобы изобразить его полностью, нужно шесть тысяч две цифры.

Фило свистнул. Вот так простое число! Хоть на телеграфной ленте записывай…

— И все же от этого оно не перестает быть простым. Что действительно непросто, так это найти закон, по которому простые числа распределяются среди чисел натуральных.

— Как? — удивился Фило. — Разве он до сих пор не известен?

— Нет. Впрочем, выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышёв нашел метод, позволяющий приближенно определять, сколько простых чисел расположено на отрезке натурального ряда. Но это уж разговор не для вас, — поспешно прервал себя Мате, заметив, что Фило приготовился к новому вопросу. — Кстати, знаете вы, что когда-то способ Эратосфена напоминал решето не только в переносном, но и в прямом смысле? Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском. При этом составные числа он не зачеркивал, а протыкал острой палочкой. И вскоре дощечка и впрямь начинала походить на решето, хотя и не сквозное.

— Вероятно, решето все-таки не единственное изобретение Эратосфена? — тактично полюбопытствовал Фило.

Вместо ответа Мате вышел в прихожую, порылся в рюкзаке и принес какой-то странный прибор. Осмотрев его, Фило заметил не без юмора, что Эратосфен питал пристрастие к домашнему хозяйству: сперва изобрел решето, потом — подставку для чайника.

Он приподнял чайник, обнажив лежащую под ним складную металлическую гармошку. Мате подтвердил, что некоторое сходство действительно есть, но весь фокус в том, что с помощью прибора Эратосфена решалась одна из знаменитых задач древности, тогда как подставка на это решительно не способна.

— Любезный Дон-Кихот, — вкрадчиво попросил Фило, — просветите вашего верного Санчо. О каких знаменитых задачах речь?

Мате посмотрел на друга с досадой и в то же время с тайной гордостью. Право же, любопытство его становится угрожающим!

— А кто выпустил джинна из бутылки? — парировал Фило. — Не вы ли? Вот и расхлебывайте.

Делийская задача

— Нам известны три неразрешимые задачи древности, — начал Мате, — квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба…

— Почему же неразрешимые? — с ходу перебил Фило. — Вы же сами сказали, что Эратосфен решил одну из них посредством своего замысловатого прибора.

— Решить-то решил, но незаконно. Потому что по условию решать эти задачи можно было, пользуясь только двумя простейшими приспособлениями: линейкой без делений и циркулем.

— Что за глупое условие! — фыркнул Фило. — Не все ли равно, каким способом решать? Главное — добиться правильного ответа.

— Ошибаетесь, уважаемый Санчо. Решить задачу, ничего не вычисляя, манипулируя только линейкой и циркулем, — большое искусство. Оно требует изобретательности, остроумия, я бы даже сказал — таланта. Представьте себе: вам даны три отрезка, которые должны стать медианами некоего треугольника. Попробуйте построить этот треугольник, не прибегая ни к чему, кроме слепой линейки и циркуля.

— Увы! — вздохнул Фило. — Для этого надо знать геометрию.

— Золотые слова, хоть и не новые. Нечто подобное сказал Платон еще в четвертом веке до нашей эры. На фронтоне его афинской Академии было начертано: «Не знающий геометрии да не входит сюда!» И вот почему именно к Платону обратились за помощью делийцы, когда произошла история с удвоением куба.

— Вас не поймешь, — рассердился Фило. — То вы говорили, что удвоение куба — задача, теперь это уже история…

Но Мате попросил его не придираться к словам: удвоение куба, как и всякая задача, имеет свою историю.

В IV веке до нашей эры на острове Де́лос в городе Де́льфах вспыхнула эпидемия чумы. Что в таких случаях думают древние люди? Они думают, что прогневили богов, и, естественно, стараются узнать, каким образом их умилостивить. А посему делийцы обратились за советом к знаменитому дельфийскому оракулу, и тот изрек им волю небожителей: бедствие прекратится, когда в дельфийском храме воздвигнут жертвенник, объемом ровно вдвое больше прежнего, причем форма жертвенника — куб — должна оставаться неизменной.

Ознакомясь с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.

— Стало быть, задача показалась ему очень трудной, — заключил Фило. — Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза — вот вам и удвоение.

Мате сказал, что решение поистине царское, потому что именно так пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Мино́с. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, так как объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе вроде бы восемь… Но Фило тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.

На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе — несоизмеримое с единицей!