Искатели необычайных автографов

— Ничего, — не сдавался Фило, — можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем — шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати…

— И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь, умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух — нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:

³√16 = ³√(8×2). ³√8=2; ³√2 ≈ 1,26.

— Странно, странно и в третий раз странно. Выходит, удвоение куба вообще невозможно?

— Невозможно с помощью слепой линейки и циркуля. Но есть в геометрии и другие способы. Вместо того чтобы извлекать корень, который нельзя вычислить точно, можно найти длину ребра непосредственно на чертеже. Именно так и поступали древние греки. А так как это работа кропотливая, Эратосфен решил упростить ее и придумал прибор, который находит длину ребра механически.

— Платон, наверное, сказал бы, что Эратосфен сплутовал, — предположил Фило.

— Это вы хорошо заметили, — похвалил Мате. — Эратосфен тоже не сомневался, что Платон бы его по головке не погладил.

— Откуда вы знаете?

— От самого Эратосфена. Он написал сочинение «Платоник», где немалое место занимает задача об удвоении куба. Способы решения обсуждают греческие математики Архи́т, Мене́хм, Эвдо́кс и, конечно, сам Платон. И когда заходит речь о применении механического прибора, Эратосфен, искусно подделываясь под стиль Платона, заставляет его высказать свое неодобрение.

— Знаете, — неожиданно заявил Фило, — по-моему, Платон прав. Людям не следует избавлять себя от необходимости думать.

— Согласен, — кивнул Мате, — но у Платона были на этот счет и другие соображения. Как философ-идеалист он презирал все материальное, преходящее, осязаемое. Грубое плотницкое приспособление принижало в его глазах науку. Кроме того, всякий механический прибор неминуемо связан с движением. Вот и прибор Эратосфена основан на передвижении планок. А в те времена вводить движение в геометрию считалось дурным тоном. Так полагали и Платон, и ученик его Аристотель, а вслед за Аристотелем друг наш Хайям. Между прочим, доказательство пятого постулата, принадлежащее ал-Хайсаму, Хайям критиковал как раз за то, что в нем есть элемент движения…

— Хорошо, что вы вспомнили о Хайяме! — обрадовался Фило. — Интересно, как он умудрялся решать кубические уравнения с помощью конических сечений?

— Прекрасный вопрос! — воодушевился Мате. — Только что собирался рассказать вам о способе Менехма.

— При чем тут Менехм?

— Сейчас поймете, если только нальете мне еще стакан вашего несравненного чая.

Снова конические сечения

— Так вот, — продолжал Мате, помешивая ложечкой в стакане, — вы сами установили, что задача об удвоении куба сводится к вычислению корня кубического из двух. На языке современной алгебры это можно записать так: х = ³√2, что вытекает из известного еще в Древнем Вавилоне уравнения х³ = 2. Менехм предложил записать это уравнение в виде двойной порции:

1 : х = х : у = у : 2.

— Не понимаю, — сказал Фило, — откуда взялся игрек?

Мате возвел очи к небу. О господи! Он и забыл, что для Фило алгебраические преобразования — китайская грамота.

— Исключите из этих двух пропорций смущающий вас игрек, и вы снова получите х³ = 2, — объяснил он, доставая блокнот. — Смотрите. Из пропорции 1 : х = х : у следует, что у = х². Подставьте в равенство хy = 2 вместо игрека х², и получится, что х³ = 2. Теперь вы видите, что от преобразования Менехма наше уравнение ничуть не изменилось.

— Зачем же было переливать из пустого в порожнее?

— Как зачем? Да ведь вместо одного уравнения мы получили два: ху = 2 и у = х².

— Подумаешь, прибыль!

— И очень большая. Потому что ху = 2 — это не что иное, как уравнение равносторонней гиперболы, а у = х² — уравнение параболы!

— Конические сечения!

— В том-то и дело. И стало быть, теперь мы можем изобразить наше уравнение в виде кривых на чертеже. Для этого начертим сперва оси координат…

— Вот еще! — фыркнул Фило. — Мы такого в школе не проходили.

— Не мы, а вы, — уточнил Мате. — Вы не проходили. Но теперь вам от этого не отвертеться. Так вот, достопочтенный Санчо, благоволите запомнить, что оси координат существуют для того, чтобы определять положение точки на плоскости или в пространстве. Само собой, для нахождения точки на плоскости достаточно двух координат. Если же точка находится в пространстве, которое, как известно, трехмерно, тут уж потребуются три координаты.

— Ну, это нам ни к чему, — быстро ввернул Фило. — Мы ведь ищем точку на плоскости. Стало быть, хватит с нас и двух координат.