Искатели необычайных автографов

— Наоборот! Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она буквально нафарширована непредвиденными находками, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко ставлю этот удивительный числовой ряд. А теперь…

Он сунул руку в карман, позвякал медяшками и без всякого видимого перехода предложил отгадать, сколько там монет.

Фило надулся: факир он, что ли?

— Ладно! — смилостивился Мате. — Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам наводящие данные. Здесь у меня трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.

— Так бы сразу и сказали. Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет — через y. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5x, а трехкопеечных — на Зу. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5x + 3y = 49.

— Ставлю вам пять с плюсом, — сказал Мате. — Уравнение отличное. Но как вы его решите?

Фило призадумался. Попробуйте-ка решить уравнение с двумя неизвестными!

— Не беда, — утешил Мате. — Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте подберем эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: x = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 × 1 +3y = 49. Отсюда Зу = 44/3.

— Простите, 44/3 не целое число…

— Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 × 2 + 3y = 49. Отсюда 3y = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.

— Браво! — ликовал Фило. — Задача решена.

— Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?

— Сейчас узнаем. 5 × 5 + 3y = 49. Отсюда Зу = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.

— Как видите.

— Поискать, что ли, другие?

Перебрав варианты х = 3, 4, 6 и 7, Фило убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум решениям прибавилось третье. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило хотел уже приравнять икс десяти, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49.

— Итак, — подытожил он, — мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, y = 13; 2) x = 5, у = 8, 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.

Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.

— Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, — разъяснил Мате. — Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.

— Но кому же это нужны уравнения с несколькими ответами?

— Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии. Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.

— И все-таки. Для чего нужны такие уравнения? Где они используются?

— Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства, где мы имеем дело только с целыми числами. Может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?

— Понимаю, — сдался Фило. — Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от темы? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения…

— Это вы называете «ни с того ни с сего»? Да ведь между ними прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений. Гильберт спрашивает, каким способом можно установить после конечного числа операций, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах. И оказалось, что такого способа в общем виде не существует.

— Ууу! — разочарованно протянул Фило. — Стало быть, десятая проблема Гильберта оказалась совершенно бесполезной?

Мате сердито замахал руками. Что за чепуха! Во-первых, математический метод, которым была исследована десятая проблема, представляет огромную ценность уже сам по себе. Во-вторых, результат этого исследования избавил ученых от дальнейших поисков. И наконец, в-третьих, — десятая проблема Гильберта привела к возникновению новой ветви математики — теории алгоритмов. А это такое…