Искатели необычайных автографов

— Да, да и в третий раз да! Числами я заболел с юности. С того самого дня, как прочитал книгу чудесного русского математика Александра Васильевича Васильева «Целое число». Теперь, после того, как вы научили меня любить стихи, мне не стыдно назвать эту книгу поэмой. Да, то была настоящая поэма, которая ввела меня в необычайный мир чисел, раскрыла их красоту, научила отыскивать скрытые числовые взаимосвязи… С тех пор все свое свободное время я отдавал поискам числовых закономерностей. Они преследовали меня всюду. Я обнаруживал их в номерах телефонов, на вывесках сберкасс, на номерных табличках автомобилей. Увидав какое-нибудь число, я сейчас же начинал манипулировать им: складывал цифры, перемножал их, менял местами, сопоставлял первые с последними и всегда находил что-нибудь занятное…

Потом я увлекся числовыми треугольниками. Натолкнул меня на это арифметический треугольник Паскаля. Все числа его связаны между собой железными закономерностями, и это настолько меня поразило, что я стал выдумывать свои собственные числовые треугольники. При этом у меня не было никакой цели. Просто-напросто я играл числами. Но много лет спустя один мой треугольник неожиданно пригодился для решения некоего дифференциального уравнения. Другой оказался удобным подспорьем при решении задачи о колебаниях коленчатого вала…

— Вот даже как! — сказал Фило уважительно. — Остается пожалеть, что вы забросили это интересное и полезное занятие…

— Забросил?! Так знайте же: не далее чем вчера у меня появился новый числовой треугольник. Желаете убедиться?

— Сделайте одолжение!

— Тогда смотрите сюда. — Мате указал на блокнот. — Перед вами ряд чисел: 1, 2, 5, 13, 34, 89. Вам он о чем-нибудь говорит?

Фило наморщил лоб.

— Вроде бы что-то знакомое, и в то же время не совсем…

— Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите внимание, что этот частичный ряд тоже имеет свою закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено…

— Ну-ка, проверим! — сказал Фило. — Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 × 2) = 34. Но где же все-таки обещанный треугольник?

— Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:

— Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!

Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда. Составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:

— Вы, конечно, понимаете, — добавил Мате, — что треугольник может быть продолжен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги и каждый раз получать полный ряд чисел Фибоначчи.

Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.

— А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, — признался Фило.

— Погодите, я еще не кончил, — остановил его Мате. — Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.

Он выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел:

— Во-первых, заметьте, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, — сказал он.

— Вижу, — подтвердил Фило. — А во-вторых?

— Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно в свою очередь представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы — ведь она как-никак тоже число простое.

1 = 1 (1 слагаемое)

3 = 3 (1 слагаемое)

10 = 3 + 7 (2 слагаемых)

29 = 3 + 7 + 19 (3 слагаемых)

81 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 (5 слагаемых)

220 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 71 (8 слагаемых)

589 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 (13 слагаемых)

1563 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 131 + 137 + 173 (21 слагаемое)

— Чуете? — спросил Мате, закончив таблицу. — Количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.

— Но это же замечательное открытие! — бурно обрадовался Фило.

— До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.

— Так найдите общее доказательство.

— Только и всего? Попробуйте-ка сами.

— Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, — отшутился Фило. — К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.