Искатели необычайных автографов

— Если же, — продолжает Мате, — при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и РР. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2ОР. Ибо ОР + РО = 2ОР. Так ведь? С другой стороны, (О + Р)² = О² +2ОР + P², а это и есть OO + 2OР + РР.

— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:

ООО, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.

Преобразуем это хозяйство тем же способом: ООО, 3ООР, 3ОРР, РРР. И снова (О + Р)³ = О³ + ЗО²Р + ЗОР² + Р³. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О+Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6О²Р² + 4ОР³ + Р⁴. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом 0 + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших неравенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов есть общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события — это отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша р в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.

— Все это хорошо, — мнется Фило, — но как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, что тогда?

— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени п.

— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.

(O + P)⁰ = 1

(О + Р)¹ = О + Р,

(О + Р)² = О² + 2ОР + Р²,

(О + Р)³ = О³ + ЗО²Р+ЗОР²+Р³,

(О + Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6О²Р² + 4ОР³ + Р⁴.

Остается выписать отдельно все коэффициенты:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

— Ой, — изумляется Фило, — это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.

— Умница! — одобряет Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.

Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить эти неожиданные совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.

— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…

— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаа́ка Нью́тона и немца Го́тфрида Ле́йбница.

— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Всё, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.

— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет он в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?

— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой занимались и Ферма, и Паскаль, и Гю́йгенс[45], который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома.

Фило озабоченно хмурится.

— Бином Ньютона… Как сказал поэт, «все это уж было когда-то, но только не помню, когда». В десятом классе, кажется…