Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

«Я могу подняться на вершину Каирн-Горм в моих любимых горах на северо-востоке Шотландии на фуникулере и почувствовать, что это кратчайший путь до вершины, но она не принесет мне почти никакого удовлетворения или удовольствия, – говорит он. – Но, если я доберусь до той же вершины после двухдневного пешего восхождения, она будет одним из самых поразительных мест, в каких я когда-либо бывал».

Макфарлейн рассказал мне о шотландском альпинисте и мистике У. Х. Мюррее, в чьих сочинениях отразились те сильные ощущения, которые испытываешь, находясь в таких местах: «Когда дух человека испытывает угнетение или облегчение, его сердце естественным образом стремится вверх». Мюррей писал эти слова на туалетной бумаге, которую он копил, находясь в заключении – в лагере для военнопленных во время Второй мировой войны[62]. Хотя его тело не имело возможности путешествовать, его разум странствовал по Шотландскому высокогорью. Другим героем Макфарлейна стала модернистская писательница и поэтесса Нэн Шеперд.

«В сороковых годах Нэн Шеперд писала в конце “Живой горы”[63], что эти, как она их называет вслед за Вулф и Вордсвортом и другими, моменты бытия возникают, только когда “мы бродим так, с обостренными чувствами, час за часом, пока наша плоть не станет прозрачной”. Это потрясающая фраза, – говорит Макфарлейн. – Эти холмы никуда не спешат – так, по-моему, она говорит. Поэтому шорткаты – это абсолютная антитеза к этому способу достичь прозрения».

Однако Макфарлейн напомнил мне, что многие из троп, по которым мы сегодня гуляем ради собственного удовольствия, впервые были проложены в неолитические времена именно в качестве шорткатов. Жизнь в скудных условиях вынуждала людей соизмерять затраты энергии, имеющиеся ресурсы и так далее. Когда они находили короткую дорогу, то вряд ли пренебрегали ею – независимо от того, открывались ли на ней такие же возможности для созерцания, как и на длинной, или нет.

Но не всегда. Как отмечает Макфарлейн, иногда неолитические культуры тратили огромное количество ресурсов на проекты, не сводящиеся к пользе для выживания. В качестве иллюстрации к этому тезису он рассказал мне прекрасную историю о рубилах, которые добывали в долине Литл-Лэнгдейл в камберлендском Озерном крае. Она показывает, что не все неолитические тропы служили рациональными шорткатами: «На нижних уровнях этой долины были прекрасные скальные выходы подходящей для рубил породы, которые вполне можно было бы использовать для изготовления инструментов – стоило только захотеть. Но они явно предпочитали забираться на гораздо более высокие и труднодоступные площадки на утесе Гиммер-Крэг».

Мне стало любопытно, почему люди шли в труднодоступные места за той же самой породой, которую можно было добыть гораздо легче.

«У мест есть особая аура, которая остается в предмете после того, как его забирают из такого места, – сказал он. – Так что и в доисторические времена люди выбирали не только короткие, но и длинные пути не без причины».

Затем Макфарлейн отплатил мне той же монетой. Есть ли в математике примеры необычайно плодотворных длинных путей?

Я думаю, одним из таких примеров можно считать гипотезы. Гипотеза подобна горной вершине. Я не хочу подсматривать ответ в конце задачника – это все равно что подниматься на Каирн-Горм на фуникулере. Удовольствие от достижения вершины определяют те дни, даже годы, которые я трачу на восхождение. Правда, ради этого мне вовсе не хочется плестись по скучному пейзажу. Некоторые прогулки по ощущениям неотличимы от тяжелой работы.

В математике существует странное, тонкое противостояние между излишней легкостью, делающей работу скучной, и такой сложностью, которая не позволяет понять, что вообще происходит. В книге «Приключение, тайна, любовная история» (Adventure, Mystery, and Romance: Formula Stories as Art and Popular Culture, 1977) Джон Кавелти описывает аналогичное противостояние в литературе, но его слова применимы и к математике: «Если мы стремимся к порядку и безопасности, то в итоге обязательно получим скуку и однообразие. Отказавшись от порядка во имя перемен и новизны, столкнемся с опасностью и неизвестностью… Историю культуры можно интерпретировать как динамичный конфликт между… стремлением к порядку и желанием избежать скуку»[64].

Иногда часть удовольствия приносит сам тот факт, что к вершине приходится идти длинной дорогой. В течение 350 лет целые поколения математиков пытались доказать Великую теорему Ферма, путешествуя в странные эзотерические миры, пока путь к цели наконец не был найден. Но эти окольные пути и долгие дороги внесли свой вклад в удовольствие от доказательства. Нам пришлось открыть интереснейшие новые математические земли, которые могли бы остаться нетронутыми, если бы мы не были вынуждены огибать непроходимые математические трясины, обнаружившиеся на нашем пути.