Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Если бы я начал с заявления, что не могу похвалить эту работу, Вас это, несомненно, на некоторое время озадачило бы. Но я не могу сказать ничего другого. Похвала ей означала бы для меня похвалу самому себе. По сути дела, все содержание работы – тот путь, по которому пошел Ваш сын, те результаты, к которым этот путь привел его, – все это почти полностью совпадает с моими размышлениями, отчасти занимавшими мой разум на протяжении последних тридцати или тридцати пяти лет.

Оказывается, Гаусс открыл эти искривленные геометрии со странными шорткатами по поверхностям много лет назад, когда проводил геодезические съемки Ганновера. Для этого ему пришлось заниматься триангуляцией территории королевства подобно тому, как это делали Мешен и Деламбр, когда определяли длину метра. Хотя сперва эта работа казалась великому математику нудной и монотонной, она послужила катализатором для глубоких теоретических размышлений. Гаусс задумался, не может ли быть искривленной не только поверхность Земли, но и сама геометрия пространства. Он решил использовать некоторые из своих измерений треугольников, чтобы проверить, не могут ли световые лучи, направленные между вершинами трех холмов вокруг его дома в Геттингене, образовать треугольник, сумма углов которого будет отличаться от 180 градусов.

Свет обожает шорткаты. Он всегда находит кратчайшую линию между двумя точками. Поэтому, если бы сумма углов оказалась не равной 180 градусам, это означало бы, что свет распространяется в пространстве по криволинейной траектории. Гаусс надеялся доказать, что трехмерное пространство на самом деле искривлено, как двумерная поверхность Земли. Когда он не обнаружил никаких расхождений, он забросил эти идеи, потому что эти новые искривленные геометрии противоречили его убеждению, что цель математики – описывать Вселенную, которую мы наблюдаем вокруг себя. С тех немногих друзей, с которыми он обсуждал свои исследования, он взял обет молчания.

Теперь мы знаем, что Гаусс работал на слишком малом масштабе, не позволявшем обнаружить кривизну пространства. Возрождение интереса к проверке идей Гаусса вызвала новая теория гравитации и геометрии пространства-времени Альберта Эйнштейна.

Эйнштейн открыл, что расстояние между двумя объектами в пространстве может изменяться в зависимости от того, кто наблюдает эти объекты. При перемещении со скоростью, близкой к скорости света, расстояния сжимаются. От состояния наблюдателя зависит и время. Последовательность событий может изменяться в зависимости от того, как движется наблюдатель. Великим открытием Эйнштейна было осознание того факта, что время и пространство следует рассматривать как части единого целого в рамках четырехмерной геометрии с тремя пространственными и одним временным измерением. Измерение расстояний в этой новой пространственно-временной геометрии приводит к искривленным формам.

Идеи Эйнштейна позволили определить гравитацию не как силу, которой считал ее Ньютон, а как искривление геометрии пространства-времени. Объекты, обладающие большой массой, изгибают ткань пространства. Можно представить себе, что гравитация – не сила, притягивающая объекты друг к другу, а нечто иное. Гравитация – это шорткаты, которыми объекты пользуются для перемещения в этой геометрии. Свободное падение объекта – это всего лишь кратчайший путь перемещения из одной точки в другую, который объект находит в этой геометрии.

Поэтому планеты, обращающиеся вокруг Солнца, следует считать не объектами, которые притягивает сила, подобная прикрепленной к ним веревке, а просто шарами, скатывающимися по поверхности в этой четырехмерной пространственно-временной геометрии. Эта идея казалась безумной, но Эйнштейн нашел средство проверить ее на практике. Свет, как и планеты, должен находить кратчайший путь через пространство. Если свету нужно пройти вблизи массивного объекта, согласно этой теории кратчайшим путем будет обходная траектория, искривляющаяся вокруг такого объекта.

Британский астроном Артур Эддингтон понял, что эту идею можно проверить, использовав солнечное затмение, которое должно было случиться на Земле в 1919 году. Теория предсказывала, что свет от удаленных звезд должен искривляться гравитационным воздействием Солнца. Затмение было нужно Эддингтону, чтобы исчезло сияние Солнца, не позволяющее увидеть звезды. Тот факт, что свет действительно кажется огибающим объекты с большой массой, подтвердил, что кратчайшие пути – это линии не прямые, а искривленные, как и предсказывала теория Эйнштейна.