Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Хотя к открытию того факта, что к азартным играм можно применять математические методы, привела переписка между Ферма и Паскалем, математическая теория вероятностей по-настоящему кристаллизовалась лишь с появлением работы швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений» (Ars Conjectandi)[111]. Якоб принадлежал к тому самому клану Бернулли, который выступал на стороне Лейбница в споре об авторстве математического анализа. Именно в этой работе можно найти формулу целесообразной платы за участие в любой игре.

Предположим, существует N возможных исходов. В случае исхода 1 вы выигрываете W(1) долларов. Это происходит с вероятностью P(1). Аналогичным образом исход 2, вероятность которого P(2), приносит вам W(2) долларов. Каждый раз, когда вы играете в эту игру, вы выигрываете в среднем W(1) × P(1) + … + W(N) × P(N) долларов. Таким образом, если вам предлагают сыграть за меньшую сумму, в долгосрочной перспективе вы останетесь в выигрыше. Например, в моей игре с игральной костью есть шесть исходов, все вероятности P(1), … P(6) равны 1/6, а выигрыши W(1), … W(6) составляют от 1 до 6 долларов.

Эта формула казалась правильной, пока родственник Якоба Николай Бернулли[112] не совершил нечто почти наводящее на мысль об эдиповом комплексе: он придумал следующую игру. Я подбрасываю монету. Если выпадает орел, я плачу вам 2 доллара и игра заканчивается. Если выпадает решка, я подбрасываю монету еще раз. Если на этот раз выпадает орел, я плачу вам 4 доллара. Если решка, я подбрасываю монету еще раз. Каждый раз, когда я подбрасываю монету, выигрыш удваивается. Например, если 6 раз выпадает решка, а потом орел, я должен заплатить вам 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷ = = 128 долларов. Сколько вы согласились бы платить за участие в игре Николая? Четыре доллара? Двадцать? Сто?

Существует 50-процентный шанс, что вы выиграете всего 2 доллара. В конце концов, вероятность того, что при первом же броске выпадет орел, равна 1/2. Значит, P(1) = 1/2, а W(1) = 2. Но вы надеетесь, что перед орлом будет долгая череда решек: тогда вы получите по-настоящему большой выигрыш. Вероятность того, что сначала выпадет решка, а за ней – орел, равна 1/2 × 1/2 = 1/4. Но в этом случае вы выиграете 4 доллара. Значит, для второго исхода P(2) = 1/4, а W(2) = 4. По мере продолжения игры вероятности становятся все меньше, но выигрыш – все больше. Так, для случая с шестью решками перед орлом вероятность равна (1/2)⁷ = 1/128, но выигрыш составляет 2⁷ = 128 долларов.

Если вы останавливаете игру после 7 бросков, вы проигрываете только в случае выпадения семи решек подряд. По формуле Якоба средний выигрыш получается равным W(1) × P(1) ++ … + W(7) × P(7) = (1/2 × 2) + (1/4 × 4) + … + (1/128 × 128) == 1 + 1 + … + 1 = 7 долларам. Таким образом, играть имеет смысл, если за это предлагают заплатить меньше 7 долларов.

Но вот в чем загвоздка. Николай готов играть бесконечно, пока не выпадет орел. Вы выигрываете в каждой партии. Сколько же вы можете заплатить за участие в игре? Теперь вариантов бесконечно много. Из формулы следует, что средний выигрыш будет составлять 1 + 1 + 1 + … – бесконечно много долларов! Если вам предлагают играть по таким правилам, выгодно согласиться, сколько бы это ни стоило. Если плата за участие – 2 доллара, вы будете проигрывать с вероятностью 50 процентов, каждый раз, когда с первого же броска будет выпадать орел. Но математика утверждает, что если вы будете продолжать игру, то в долгосрочной перспективе вы должны оказаться в выигрыше.

Почему же большинство не согласится играть в такую игру, если входная плата будет больше долларов десяти или около того? Речь идет о санкт-петербургском парадоксе, названном так в честь Даниила Бернулли, двоюродного брата Николая[113], который предложил первое объяснение причин, по которым ни один рационально мыслящий человек не согласится играть в такую игру за любую плату. В то время Даниил работал в Академии наук в Санкт-Петербурге. Его ответ сводится к тому, что скажет вам любой миллиардер: первый заработанный миллион гораздо ценнее второго. В формулу нужно подставлять не сумму выигрыша, а его ценность для вас лично. Поэтому цена, которую вы готовы заплатить за участие в игре, меняется в зависимости от того, насколько вы цените ее исход. Решение Даниила имело значение, выходящее далеко за рамки любопытной математической игры: по сути дела, оно стало основой всей современной экономики.

Чтобы еще раз показать, что этот шорткат к миллиардному состоянию на самом деле не так хорош, как кажется, рассмотрим следующий вопрос: если вам удается играть по одной партии в секунду, сколько времени займут 2⁶⁰ партий? Именно на такое количество партий в санкт-петербургскую игру следует рассчитывать, чтобы остаться при своих, если плата за участие равна 60 долларам. Ответ – более 36 миллиардов лет. Возраст нашей Вселенной – не более 14 миллиардов лет. Этот результат дает еще один ответ на вопрос о том, почему большинство не согласится платить произвольную сумму за участие в этой игре.