Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Преподобный Томас Байес

Понятие вероятности кажется вполне осмысленным, когда речь идет о событиях будущего. Если я собираюсь бросить две игральные кости, то в 1 из 6 возможных сценариев сумма выпавших на них чисел будет равна 7. Эта вероятность одинакова для меня и для вас, потому что мы оцениваем нечто такое, что произойдет в будущем.

Но что, если вы уже бросили кости, они упали, а вы не показываете мне результат? Бросок состоялся. Он уже в прошлом. На костях гарантированно выпало некое число – либо равное, либо не равное 7. Никаких других вариантов нет. Беда только в том, что мне результат неизвестен. Тем не менее мы можем оценить его вероятность, хотя некоторые в этом и сомневаются. Ваша оценка вероятности отличается от моей, потому что у вас есть информация. Моя вероятность – это численное выражение отсутствия у меня знания о положении вещей. Внезапно оказывается, что вероятность зависит от количества информации, имеющейся у каждого из нас. Получается численное выражение эпистемологической неопределенности, того, что мы в принципе можем знать, но на самом деле не знаем.

По мере того как я получаю дополнительную информацию, моя оценка вероятности изменяется. Но разработка математического аппарата, позволяющего выразить значения вероятности, которые я должен присваивать событиям с учетом новой информации, привела к возникновению нового направления научной мысли.

Например, бросьте на стол случайным образом белый бильярдный шар, заметьте его положение незаметно для меня и уберите шар со стола. Если мне нужно провести линию в соответствии с моими догадками о том, где мог оказаться шар, я могу просто провести ее по центру стола, так как никакой информации у меня нет. Но что, если я брошу на стол пять красных шаров, а вы скажете мне, между какими из них оказался ваш белый? Предположим, три красных шара находятся с одной стороны от него, а два – с другой. Это сдвинет предполагаемое положение к тому краю стола, ближе к которому лежат два шара. Но на сколько именно мне следует сдвинуть линию, исходя из этой новой информации?

Некоторые теории утверждают, что линию нужно провести на уровне двух пятых длины стола. Но один возмутитель спокойствия в теории вероятностей, Томас Байес, заявил, что на самом деле линию следует провести на уровне трех седьмых, потому что анализ этих теорий не учитывает некоторых дополнительных данных – а именно того обстоятельства, что до получения новой информации случайно брошенный шар мог с 50-процентной вероятностью оказаться как в левой, так и в правой части стола. Байес определяет, где провести линию, учитывая еще и эти два дополнительных шара.

Байес был священником-нонконформистом в приходе Танбридж-Уэллс, но в то же время и своего рода математиком-любителем. Он умер в 1761 году, но среди оставшихся после него документов была рукопись, в которой излагались его идеи об определении вероятности событий на основе лишь частичной информации. Королевское общество опубликовало эту рукопись под заголовком «Очерк к решению одной задачи теории шансов» (An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances). Идеи, изложенные в этой работе, оказали огромное влияние на современные методы определения вероятности событий, о которых мы располагаем ограниченной информацией.

В судебных процессах юристы пытаются определить, какова вероятность того, что тот или иной человек виновен в совершении преступления. Человек может быть либо виновным, либо невиновным. Определение вероятности кажется делом в некотором смысле весьма странным. Такая вероятность должна выражать меру нашей эпистемологической неуверенности. Но Байес считал, что вероятности изменяются по мере учета вновь получаемой информации. Присяжные и судьи часто не понимают тонкостей идей Байеса: доходит до того, что судьи пытаются исключить такие математические методы из рассмотрения, объявив, что суд не принимает их в качестве доказательства.

Шорткат к пониманию неопределенности при помощи приписывания событиям вероятности часто используют неправильно. К сожалению, у широкой общественности нет четкого понимания вероятности. Поэтому, чтобы не заблудиться, нам приходится использовать шорткаты математические. Взять хотя бы следующий пример.

Нам говорят, что человек, совершивший преступление, приехал из Лондона. На скамье подсудимых сидит лондонец. Но эта информация дает лишь очень шаткие основания подозревать именно его. Вероятность того, что он преступник, составляет одну десятимиллионную.