Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Козы и машины

В 1990-х множество людей по всему миру, в том числе профессиональные математики, яростно спорили об оптимальной стратегии решения одной задачи из американской телевизионной игры «Заключим сделку» (Let’s Make a Deal)[114]. В игре был финальный раунд, проходивший приблизительно следующим образом.

Есть три закрытые двери. За двумя из них находятся козы, а за третьей – новенький спортивный автомобиль. В дальнейших рассуждениях я предполагаю, что участник игры хочет получить автомобиль, а не козу. Участник может выбрать одну из дверей – скажем, дверь А. Пока что все достаточно просто: вероятность того, что машина именно за этой дверью, равна одной трети, правильно? Но дальше начинается самое интересное. Ведущий, который знает, где находятся козы, открывает одну из двух оставшихся дверей, и за ней оказывается коза. Затем он ставит участника перед выбором: тот может либо открыть ту дверь, которую назвал исходно, либо изменить свое решение и открыть другую. Как поступить участнику?

Многим интуитивно кажется, что к этому моменту, раз осталось всего две двери, существует 50-процентная вероятность, что машина находится за той дверью, которую участник выбрал с самого начала. Если он изменит свое решение, это никак не повлияет на его шансы на победу, а если в результате окажется, что он с самого начала выбрал правильную дверь, то он никогда себе не простит, что отказался от приза. Поэтому чаще всего участники игры своего решения не меняют.

Но на самом деле изменение решения удваивает шансы участника на победу. Это может показаться странным, но вот почему это так. Чтобы вычислить вероятность победы, нужно перебрать все возможные сценарии с изменением решения и подсчитать, в скольких из них участник выигрывает.

Сценарий А. Машина находится за дверью А, исходно выбранной участником. Участник выбирает другую дверь и получает козу.

Сценарий Б. Машина находится за дверью Б. Ведущий открывает дверь В и показывает, что за ней – коза. Участник выбирает дверь Б и получает машину.

Сценарий В. Машина находится за дверью В. Ведущий открывает дверь Б и показывает, что за ней – коза. Участник выбирает дверь В и получает машину.

Все эти сценарии равновероятны. Однако в двух из трех случаев участник выигрывает машину. Если же он не изменяет своего решения, то выигрывает лишь в одном случае из трех. Выбрав другую дверь, он действительно удваивает свои шансы на победу!

Если вы не вполне можете осознать этот результат или поверить в него, не беспокойтесь. Такое же объяснение было напечатано в журнале, и более 10 000 человек, в том числе сотни математиков, написали в редакцию, утверждая, что оно ошибочно. Даже Пол Эрдёш, один из величайших математиков XX века, заблуждался по этому вопросу, пока как следует не обдумал задачу.

Если я вас все еще не убедил, подумайте вот о чем. Представьте себе, что дверей не три, а миллион. Ведущий знает, за какой из них спрятан приз. Участник выбирает дверь наудачу. Вероятность того, что он выберет правильную дверь, – одна миллионная. Затем ведущий открывает все остальные двери кроме одной: за ними обнаруживаются 999 998 коз. Закрытыми остаются две двери, та, которую выбрал играющий, и та, которую ведущий еще не открыл. Следует ли теперь участнику изменить свой выбор?

Дело в том, что, открывая дверь с козой, ведущий дает участнику информацию. Ведущий знает, где находятся козы. Если изменить условия, может измениться и решение. Предположим, в игре два участника, играющие друг против друга. Первый выбирает дверь. Второй получает право открыть одну из оставшихся. За ней оказывается коза. Как следует поступить первому участнику? Как ни странно, хотя кажется, что он располагает той же информацией (есть две двери, за одной – машина, за другой – коза), теперь вероятность выигрыша в случае, если первый участник останется верен своему выбору, составляет 50 процентов. Разница в том, что теперь есть еще один сценарий, который следует учесть: если за выбранной первым участником дверью находится коза, второй мог открыть дверь, за которой автомобиль. В предыдущем варианте такого случиться не могло, потому что ведущий всегда открывает дверь, за которой находится коза (благо он знает, за какими дверями спрятаны козы). Представьте себе вариант с миллионом дверей. Второй участник открывает 999 998 дверей, и за всеми оказываются козы. Из-за такого поразительного невезения он так и не получает автомобиль, но первому участнику его невезучесть не говорит об оставшихся закрытыми дверях ровным счетом ничего. Шансы найти машину за любой из двух последних дверей – пятьдесят на пятьдесят.