Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Затем присяжным говорят, что образцы ДНК, собранные на месте преступления, соответствуют ДНК обвиняемого, и что вероятность такого совпадения – одна миллионная. Казалось бы, сомнений быть не может. Большинству присяжных одного этого хватило бы, чтобы признать подсудимого виновным. Однако Байес объясняет, как именно с учетом этого следует изменить вероятность его виновности. Если численность населения Лондона – 10 миллионов человек, значит, в Лондоне есть 10 человек, ДНК которых совпадает с ДНК, найденной на месте преступления. То есть вероятность виновности человека, сидящего на скамье подсудимых, составляет всего одну десятую. Вердикт, только что казавшийся несомненным, становится не столь определенным. В этом примере разобраться довольно легко, но многие случаи использования теоремы Байеса в судебных разбирательствах бывают намного сложнее: когда речь идет о множестве разных типов улик, анализ вероятности виновности необходимо проводить с помощью компьютерных программ. К несчастью, многие судьи не понимают математики и не приобщают к делам заключений профессиональной экспертизы, что приводит иногда к ужасающим судебным ошибкам.

Вероятности используются и в медицине, и, если не понимать принципов применения шортката, в этой области также можно оказаться в результате чрезвычайно далеко от намеченной цели. Например, если пациентам говорят, что обследование на рак груди или простаты выявляет наличие рака с 90-процентной точностью, большинство впадает в панику, если результат обследования оказывается положительным. Но есть ли для этого основания? Важно учитывать дополнительные данные: что наличие рака вероятно лишь у одного из 100 пациентов. Проблему создают ложноположительные результаты. Если обследование обеспечивает 90-процентную точность, то из 99 человек, проходящих его, у 10, которые на самом деле вполне здоровы, положительные результаты будут ошибочными. Значит, если вы получили положительный результат, вероятность того, что вы действительно больны раком, составляет всего лишь одну одиннадцатую!

В этих числах важно разбираться, потому что СМИ обожают злоупотреблять ими для нагнетания страхов. Взять, к примеру, то сообщение, с которого я начал эту главу, – что бекон увеличивает вероятность возникновения рака прямой кишки на 20 процентов. Это пугает. Не пора ли мне отказаться от моих любимых бутербродов с беконом? Но, если посмотреть на долю людей, болеющих раком прямой кишки, она составляет 5 из 100. Употребление бекона увеличивает эту цифру до 6 из 100. В такой формулировке эта вероятность кажется не столь страшной.

Пипс

А как быть с задачей Пипса о шестерках, с которой начинается эта глава? Какова вероятность того, что в шести бросках выпадет хотя бы одна шестерка? Здесь нужно снова использовать тот же шорткат – рассмотреть обратный вариант. Вероятность того, что шестерка не выпадет шесть раз подряд, равна (5/6)⁶ ≈ 33,49 %. Значит, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки, довольно велика – около 66,51 %.

А как насчет выпадения по меньшей мере двух шестерок на двенадцати костях? Здесь тоже существует слишком много возможных вариантов развития событий, чтобы все их можно было рассмотреть, так что мы применим тот же прием и пойдем от обратного. Рассмотрим вероятность случаев, в которых а) не выпадает ни одной шестерки и б) выпадает ровно одна шестерка. Для случая а) действует та же формула, что и раньше: (5/6)¹² ≈ 11,216 %. Теперь займемся одной шестеркой. Тут есть двенадцать возможных сценариев, смотря по тому, в каком из бросков она выпадает. Вероятность, что шестерка выпадет в первом броске и не выпадет во всех остальных, равна (1/6) × (5/6)¹¹. Собственно говоря, то же справедливо и для всех остальных сценариев, так что суммарная вероятность составляет 12 × (1/6) × (5/6)¹¹ ≈ 26,918 %. Следовательно, вероятность выпадения двух или более шестерок в двенадцати бросках приблизительно равна

100 – 11,216 – 26,918 = 61,866 %.

Таким образом, лучше ставить на вариант 1. Если произвести аналогичный анализ третьего варианта, несколько более сложного, чем второй, вероятность получится еще более низкой – около 59,73 %.

Пипс писал об этой задаче Исааку Ньютону в трех письмах, отправленных в конце 1693 года[115]. Пипсу интуитивно казалось, что третий вариант должен быть самым вероятным, но Ньютон, применив к задаче шорткат Ферма и Паскаля, ответил, что математика рекомендует другое решение. Поскольку Пипс собирался поставить 10 фунтов, что соответствует 1000 фунтов в нынешних деньгах, ему повезло: совет Ньютона спас его от шортката к обнищанию.

Шорткат к шорткатам